【中学数学】置きかえて因数分解する問題 No.121
どうも、『0からやりなおす中学数学の計算問題』（総合科学出版）などの著書がある石崎です。
さて、数学は、所詮、入試でしか役立たないと思っているひとも多いのではないでしょうか。
いえいえ、そんなことはないですよ。もちろんすべてではないですが、数学は案外実生活で役立ちます。数学の勉強をしっかりしておきましょう。具体的には、まずは基本を理解して、つぎに反復練習しましょう。というわけで、今日も、はりきって因数分解の演習問題を解きましょう。
計算問題を何度も解いて本当に数学が得意になるのかと考えるひともいるかもしれませんが、がんばって解いてみてください。数学が苦手と感じなくなるかもしれませんから。繰り返し式の展開の計算をしているとつらくなるかもしれませんが、それを乗り越えてくださいね。
＜はじめてのひとへ＞
・数式の表示は、MathJaxを利用しています。数式を表示させるにはネット接続とJavascriptを「オン」にすることが必要です。
・このページは印刷できます。詳しい方法は、計算問題を印刷する方法をご覧になってください。
・計算のしかたを工夫すれば楽に計算できるケースもあります。計算式はあくまで目安ですので、あらかじめご了承ください。
・計算問題のページには、ほかにも、たくさん計算問題があります。
＜出題内容＞
・対象：中学三年生（中学数学）
・種類：因数分解（置きかえて因数分解する問題）
・因数分解の方法：因数分解
・問題数：20問
※公式
\[x^2-y^2=(x+y)(x-y)\]\[x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\]\[x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\]\[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\]\[x^2+(ay+by)x+aby^2=(x+ay)(x+by)\]
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置きかえて因数分解する問題
（1）因数分解してください。
\[(a-6)^{2}+(a-6)\]
（2）因数分解してください。
\[8(a+6)^{2}+56(a+6)\]
（3）因数分解してください。
\[(a+2)^{2}-8(a+2)\]
（4）因数分解してください。
\[(a+3)^2-10(a+3)+25\]
（5）因数分解してください。
\[5(x+1)^{2}-5(x+1)\]
（6）因数分解してください。
\[(x+8)^2-4\]
（7）因数分解してください。
\[6(x+4)-18\]
（8）因数分解してください。
\[(a-5)^2+16(a-5)+64\]
（9）因数分解してください。
\[-5(x-4)+30\]
（10）因数分解してください。
\[(x+5)^2-4(x+5)+4\]
（11）因数分解してください。
\[(a+9)^2-12(a+9)+36\]
（12）因数分解してください。
\[-(a+5)^{2}-8(a+5)\]
（13）因数分解してください。
\[-9(x-8)+9\]
（14）因数分解してください。
\[(x-8)^2-6(x-8)+5\]
（15）因数分解してください。
\[(x+3)^2-36\]
（16）因数分解してください。
\[(x+9)^2-16\]
（17）因数分解してください。
\[7(a+6)+21\]
（18）因数分解してください。
\[(a-5)^2+16(a-5)+64\]
（19）因数分解してください。
\[-4(x+2)^{2}-12(x+2)\]
（20）因数分解してください。
\[(a-8)^2-16(a-8)+64\]
置きかえて因数分解する問題（計算式）
（1）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}+A\]
つぎのようになります。
\[A(A+1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-6)(a-6+1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-6)×(a-6)+(a-6)×1\]
（2）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[8A^{2}+56A\]
つぎのようになります。
\[8A(A+7)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[8(a+6)(a+6+7)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[8(a+6)×(a+6)+8(a+6)×7\]
（3）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}-8A\]
つぎのようになります。
\[A(A-8)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+2)(a+2-8)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+2)×(a+2)+(a+2)×(-8)\]
（4）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2-2×A×5+(5)^2\]
つぎのようになります。
\[(A-5)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+3-5)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+3)^2-2×(a+3)×5+(5)^2\]
（5）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[5A^{2}-5A\]
つぎのようになります。
\[5A(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[5(x+1)(x+1-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[5(x+1)×(x+1)+5(x+1)×(-1)\]
（6）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(2)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+2)(A-2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+8+2)(x+8-2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+8)^2-(2)^2\]
（7）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[6A-18\]
つぎのようになります。
\[6(A-3)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[6(x+4-3)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[6×(x+4)+6×(-3)\]
（8）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+2×A×8+(8)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+8)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-5+8)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-5)^2+2×(a-5)×8+(8)^2\]
（9）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-5A+30\]
つぎのようになります。
\[-5(A-6)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-5(x-4-6)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-5)×(x-4)+(-5)×(-6)\]
（10）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2-2×A×2+(2)^2\]
つぎのようになります。
\[(A-2)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+5-2)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+5)^2-2×(x+5)×2+(2)^2\]
（11）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2-2×A×6+(6)^2\]
つぎのようになります。
\[(A-6)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+9-6)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+9)^2-2×(a+9)×6+(6)^2\]
（12）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-8A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+8)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(a+5)(a+5+8)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(a+5)×(a+5)-(a+5)×8\]
（13）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-9A+9\]
つぎのようになります。
\[-9(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-9(x-8-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-9)×(x-8)+(-9)×(-1)\]
（14）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+\{(-1)+(-5)\}A+(-1)×(-5)\]
つぎのようになります。
\[(A-1)(A-5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-8-1)(x-8-5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-8)^2+\{(-1)+(-5)\}(x-8)+(-1)×(-5)\]
（15）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(6)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+6)(A-6)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+3+6)(x+3-6)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+3)^2-(6)^2\]
（16）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(4)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+4)(A-4)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+9+4)(x+9-4)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+9)^2-(4)^2\]
（17）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[7A+21\]
つぎのようになります。
\[7(A+3)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[7(a+6+3)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[7×(a+6)+7×3\]
（18）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+2×A×8+(8)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+8)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-5+8)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-5)^2+2×(a-5)×8+(8)^2\]
（19）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-4A^{2}-12A\]
つぎのようになります。
\[-4A(A+3)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-4(x+2)(x+2+3)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-4)(x+2)×(x+2)+(-4)(x+2)×3\]
（20）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2-2×A×8+(8)^2\]
つぎのようになります。
\[(A-8)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-8-8)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-8)^2-2×(a-8)×8+(8)^2\]
置きかえて因数分解する問題（解答）
勉強で最初にすべきことは、まずは、テキストや参考書を読んでしっかり理解することです。そのとき、数学が苦手ならば、できるだけわかりやすいテキストや参考書で勉強しましょう。
つぎに練習問題を解きます。良問を解くのが効率的ですが、苦手なひとは同じタイプの問題でも数字を変えると間違えてしまうようなことがあるため、お勧めしません。そこで、数値だけ変えた演習問題を大量に解いていくといいでしょう。そのような演習問題はどこにあるのでしょうか。まさしくこのウェブサイトです。
（1）答えはつぎのようになります。
\[(a-6)(a-5)\]
（2）答えはつぎのようになります。
\[(a+6)(a+13)\]
（3）答えはつぎのようになります。
\[(a+2)(a-6)\]
（4）答えはつぎのようになります。
\[(a-2)^2\]
（5）答えはつぎのようになります。
\[5(x+1)\]
（6）答えはつぎのようになります。
\[(x+10)(x+6)\]
（7）答えはつぎのようになります。
\[6(x+1)\]
（8）答えはつぎのようになります。
\[(a+3)^2\]
（9）答えはつぎのようになります。
\[-5(x-10)\]
（10）答えはつぎのようになります。
\[(x+3)^2\]
（11）答えはつぎのようになります。
\[(a+3)^2\]
（12）答えはつぎのようになります。
\[-(a+5)(a+13)\]
（13）答えはつぎのようになります。
\[-9(x-9)\]
（14）答えはつぎのようになります。
\[(x-9)(x-13)\]
（15）答えはつぎのようになります。
\[(x+9)(x-3)\]
（16）答えはつぎのようになります。
\[(x+13)(x+5)\]
（17）答えはつぎのようになります。
\[7(a+9)\]
（18）答えはつぎのようになります。
\[(a+3)^2\]
（19）答えはつぎのようになります。
\[-(x+2)(x+5)\]
（20）答えはつぎのようになります。
\[(a-16)^2\]