【中学数学】置きかえて因数分解する問題 No.126
こんにちは、石崎です。『0からやりなおす中学数学の計算問題』（総合科学出版）などの著者です。
さて、数学は、所詮、入試でしか役立たないと思っているひとも多いと思います。
そんなことはありません。数学は案外実生活で役立ちます。数学の勉強をしっかりしておきましょう。具体的には、まずは基本を理解して、つぎに同じ問題を繰り返し解くことです。特に計算問題は繰り返し問題を解くことが大切です。というわけで、今日も、因数分解の演習問題を解きましょう。
計算問題を何度も解いて本当に数学が得意になるのかと懐疑的なひともいるかもしれませんが、がんばって解いてみてください。繰り返し式の展開の計算をしているとつらくなりますが、それを乗り越えてくださいね。
＜はじめてのひとへ＞
・数式の表示は、MathJaxを利用しています。数式を表示させるにはネット接続とJavascriptを「オン」にすることが必要です。
・このページは印刷できます。詳しい方法は、計算問題を印刷する方法をご覧になってください。
・計算のしかたを工夫すれば楽に計算できるケースもあります。計算式はあくまで目安ですので、あらかじめご了承ください。
・計算問題のページには、ほかにも、たくさん計算問題があります。
＜出題内容＞
・対象：中学三年生（中学数学）
・種類：因数分解（置きかえて因数分解する問題）
・因数分解の方法：因数分解
・問題数：20問
※公式
\[x^2-y^2=(x+y)(x-y)\]\[x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\]\[x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\]\[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\]\[x^2+(ay+by)x+aby^2=(x+ay)(x+by)\]
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置きかえて因数分解する問題
（1）因数分解してください。
\[(x+8)^2+8(x+8)-9\]
（2）因数分解してください。
\[(a-5)^2-36\]
（3）因数分解してください。
\[(a-2)^2-10(a-2)+25\]
（4）因数分解してください。
\[(x+7)^2-2(x+7)-35\]
（5）因数分解してください。
\[-4(x-8)+8\]
（6）因数分解してください。
\[8(a+1)-56\]
（7）因数分解してください。
\[-5(x-6)+20\]
（8）因数分解してください。
\[-6(a-3)^{2}+36(a-3)\]
（9）因数分解してください。
\[(a-2)^2-16\]
（10）因数分解してください。
\[-5(x-5)+35\]
（11）因数分解してください。
\[-9(x-3)-9\]
（12）因数分解してください。
\[(x-3)^2+7(x-3)+12\]
（13）因数分解してください。
\[-(a+3)^{2}-7(a+3)\]
（14）因数分解してください。
\[-4(a-1)^{2}-12(a-1)\]
（15）因数分解してください。
\[-8(x+2)-8\]
（16）因数分解してください。
\[-2(a+2)-10\]
（17）因数分解してください。
\[(x+9)^2-7(x+9)+10\]
（18）因数分解してください。
\[-(a-1)^{2}+(a-1)\]
（19）因数分解してください。
\[(a+1)^2+2(a+1)-48\]
（20）因数分解してください。
\[-7(x+2)^{2}+14(x+2)\]
置きかえて因数分解する問題（計算式）
（1）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+\{(-1)+9\}A+(-1)×9\]
つぎのようになります。
\[(A-1)(A+9)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+8-1)(x+8+9)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+8)^2+\{(-1)+9\}(x+8)+(-1)×9\]
（2）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(6)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+6)(A-6)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-5+6)(a-5-6)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-5)^2-(6)^2\]
（3）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2-2×A×5+(5)^2\]
つぎのようになります。
\[(A-5)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-2-5)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-2)^2-2×(a-2)×5+(5)^2\]
（4）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+\{(-7)+5\}A+(-7)×5\]
つぎのようになります。
\[(A-7)(A+5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+7-7)(x+7+5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+7)^2+\{(-7)+5\}(x+7)+(-7)×5\]
（5）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-4A+8\]
つぎのようになります。
\[-4(A-2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-4(x-8-2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-4)×(x-8)+(-4)×(-2)\]
（6）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[8A-56\]
つぎのようになります。
\[8(A-7)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[8(a+1-7)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[8×(a+1)+8×(-7)\]
（7）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-5A+20\]
つぎのようになります。
\[-5(A-4)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-5(x-6-4)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-5)×(x-6)+(-5)×(-4)\]
（8）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-6A^{2}+36A\]
つぎのようになります。
\[-6A(A-6)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-6(a-3)(a-3-6)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-6)(a-3)×(a-3)+(-6)(a-3)×(-6)\]
（9）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(4)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+4)(A-4)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-2+4)(a-2-4)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-2)^2-(4)^2\]
（10）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-5A+35\]
つぎのようになります。
\[-5(A-7)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-5(x-5-7)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-5)×(x-5)+(-5)×(-7)\]
（11）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-9A-9\]
つぎのようになります。
\[-9(A+1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-9(x-3+1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-9)×(x-3)+(-9)×1\]
（12）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+(3+4)A+3×4\]
つぎのようになります。
\[(A+3)(A+4)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-3+3)(x-3+4)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-3)^2+(3+4)(x-3)+3×4\]
（13）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-7A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+7)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(a+3)(a+3+7)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(a+3)×(a+3)-(a+3)×7\]
（14）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-4A^{2}-12A\]
つぎのようになります。
\[-4A(A+3)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-4(a-1)(a-1+3)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-4)(a-1)×(a-1)+(-4)(a-1)×3\]
（15）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-8A-8\]
つぎのようになります。
\[-8(A+1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-8(x+2+1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-8)×(x+2)+(-8)×1\]
（16）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-2A-10\]
つぎのようになります。
\[-2(A+5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-2(a+2+5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-2)×(a+2)+(-2)×5\]
（17）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+\{(-2)+(-5)\}A+(-2)×(-5)\]
つぎのようになります。
\[(A-2)(A-5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+9-2)(x+9-5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+9)^2+\{(-2)+(-5)\}(x+9)+(-2)×(-5)\]
（18）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}+A\]
つぎのようになります。
\[-A(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(a-1)(a-1-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(a-1)×(a-1)-(a-1)×(-1)\]
（19）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+\{8+(-6)\}A+8×(-6)\]
つぎのようになります。
\[(A+8)(A-6)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+1+8)(a+1-6)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+1)^2+\{8+(-6)\}(a+1)+8×(-6)\]
（20）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-7A^{2}+14A\]
つぎのようになります。
\[-7A(A-2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-7(x+2)(x+2-2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-7)(x+2)×(x+2)+(-7)(x+2)×(-2)\]
置きかえて因数分解する問題（解答）
勉強の秘訣は、まずは参考書をしっかり読んで理解することが重要です。その際、数学が嫌いならば、できるだけわかりやすいテキストや参考書で勉強しましょう。
つぎに演習問題を解きますが、どのような問題を解けばいいのでしょうか。良問を解くと効率はいいのですがお勧めしません。数学が苦手なひとは同じような問題でも数字が少し変わるだけで間違えるというようなことをしてしまうためです。そこで、数値だけ変えた練習問題を解いていくといいでしょう。そのような練習問題があるのが、まさしくこのウェブサイトです。
（1）答えはつぎのようになります。
\[(x+7)(x+17)\]
（2）答えはつぎのようになります。
\[(a+1)(a-11)\]
（3）答えはつぎのようになります。
\[(a-7)^2\]
（4）答えはつぎのようになります。
\[x(x+12)\]
（5）答えはつぎのようになります。
\[-4(x-10)\]
（6）答えはつぎのようになります。
\[8(a-6)\]
（7）答えはつぎのようになります。
\[-5(x-10)\]
（8）答えはつぎのようになります。
\[-(a-3)(a-9)\]
（9）答えはつぎのようになります。
\[(a+2)(a-6)\]
（10）答えはつぎのようになります。
\[-5(x-12)\]
（11）答えはつぎのようになります。
\[-9(x-2)\]
（12）答えはつぎのようになります。
\[x(x+1)\]
（13）答えはつぎのようになります。
\[-(a+3)(a+10)\]
（14）答えはつぎのようになります。
\[-(a-1)(a+2)\]
（15）答えはつぎのようになります。
\[-8(x+3)\]
（16）答えはつぎのようになります。
\[-2(a+7)\]
（17）答えはつぎのようになります。
\[(x+7)(x+4)\]
（18）答えはつぎのようになります。
\[-(a-1)(a-2)\]
（19）答えはつぎのようになります。
\[(a+9)(a-5)\]
（20）答えはつぎのようになります。
\[-7(x+2)\]