【中学数学】置きかえて共通項（係数なしの変数）で因数分解する問題 No.72
どうも、『5つのパターンで9割わかる！中学数学の文章題』（総合科学出版）などの著書がある石崎です。さて、数学は、所詮、入試で必要なもので実生活では役立たないと思っているひとも多いと思います。
そんなことはありません。数学は案外役立ちます。数学をしっかり勉強しておきましょう。具体的には、まずは基本を理解して、つぎに反復練習することです。というわけで、今回も、因数分解の演習問題の反復練習をしましょう。
計算問題を何度も解いて本当に数学が得意になるのかと考えるひともいるかもしれませんが、がんばって解いてみてください。そのうち、数学が苦手ではなくなっていると気がつくと思いますから。繰り返し式の展開の計算をしているとつらくなりますが、それを乗り越えてくださいね。
＜はじめてのひとへ＞
・数式の表示は、MathJaxを利用しています。数式を表示させるにはネット接続とJavascriptを「オン」にすることが必要です。
・このページは印刷できます。詳しい方法は、計算問題を印刷する方法をご覧になってください。
・計算のしかたを工夫すれば楽に計算できるケースもあります。計算式はあくまで目安ですので、あらかじめご了承ください。
・計算問題のページには、ほかにも、たくさん計算問題があります。
＜出題内容＞
・対象：中学三年生（中学数学）
・種類：因数分解（置きかえて因数分解する問題）
・因数分解の方法：共通項（係数なしの変数）で因数分解
・問題数：20問
※公式
\[x^2-y^2=(x+y)(x-y)\]\[x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\]\[x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\]\[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\]\[x^2+(ay+by)x+aby^2=(x+ay)(x+by)\]
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置きかえて因数分解する問題
（1）因数分解してください。
\[-(a+9)^{2}-4(a+9)\]
（2）因数分解してください。
\[(x-5)^{2}+8(x-5)\]
（3）因数分解してください。
\[-(x-6)^{2}-7(x-6)\]
（4）因数分解してください。
\[-(a-2)^{2}+3(a-2)\]
（5）因数分解してください。
\[(x+6)^{2}+3(x+6)\]
（6）因数分解してください。
\[(x+7)^{2}-5(x+7)\]
（7）因数分解してください。
\[-(x+7)^{2}-7(x+7)\]
（8）因数分解してください。
\[-(x+8)^{2}+(x+8)\]
（9）因数分解してください。
\[-(x-9)^{2}+2(x-9)\]
（10）因数分解してください。
\[(a-4)^{2}-(a-4)\]
（11）因数分解してください。
\[(x-1)^{2}+3(x-1)\]
（12）因数分解してください。
\[-(a-6)^{2}-5(a-6)\]
（13）因数分解してください。
\[-(a-1)^{2}+2(a-1)\]
（14）因数分解してください。
\[(x-1)^{2}+2(x-1)\]
（15）因数分解してください。
\[(x-6)^{2}+7(x-6)\]
（16）因数分解してください。
\[-(x-3)^{2}-2(x-3)\]
（17）因数分解してください。
\[-(a+5)^{2}+(a+5)\]
（18）因数分解してください。
\[(x+4)^{2}+(x+4)\]
（19）因数分解してください。
\[-(x-3)^{2}+(x-3)\]
（20）因数分解してください。
\[(a-6)^{2}-4(a-6)\]
置きかえて因数分解する問題（計算式）
（1）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-4A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+4)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(a+9)(a+9+4)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(a+9)×(a+9)-(a+9)×4\]
（2）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}+8A\]
つぎのようになります。
\[A(A+8)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-5)(x-5+8)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-5)×(x-5)+(x-5)×8\]
（3）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-7A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+7)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(x-6)(x-6+7)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(x-6)×(x-6)-(x-6)×7\]
（4）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}+3A\]
つぎのようになります。
\[-A(A-3)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(a-2)(a-2-3)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(a-2)×(a-2)-(a-2)×(-3)\]
（5）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}+3A\]
つぎのようになります。
\[A(A+3)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+6)(x+6+3)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+6)×(x+6)+(x+6)×3\]
（6）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}-5A\]
つぎのようになります。
\[A(A-5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+7)(x+7-5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+7)×(x+7)+(x+7)×(-5)\]
（7）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-7A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+7)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(x+7)(x+7+7)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(x+7)×(x+7)-(x+7)×7\]
（8）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}+A\]
つぎのようになります。
\[-A(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(x+8)(x+8-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(x+8)×(x+8)-(x+8)×(-1)\]
（9）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}+2A\]
つぎのようになります。
\[-A(A-2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(x-9)(x-9-2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(x-9)×(x-9)-(x-9)×(-2)\]
（10）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}-A\]
つぎのようになります。
\[A(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-4)(a-4-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-4)×(a-4)+(a-4)×(-1)\]
（11）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}+3A\]
つぎのようになります。
\[A(A+3)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-1)(x-1+3)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-1)×(x-1)+(x-1)×3\]
（12）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-5A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(a-6)(a-6+5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(a-6)×(a-6)-(a-6)×5\]
（13）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}+2A\]
つぎのようになります。
\[-A(A-2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(a-1)(a-1-2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(a-1)×(a-1)-(a-1)×(-2)\]
（14）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}+2A\]
つぎのようになります。
\[A(A+2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-1)(x-1+2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-1)×(x-1)+(x-1)×2\]
（15）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}+7A\]
つぎのようになります。
\[A(A+7)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-6)(x-6+7)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-6)×(x-6)+(x-6)×7\]
（16）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-2A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(x-3)(x-3+2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(x-3)×(x-3)-(x-3)×2\]
（17）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}+A\]
つぎのようになります。
\[-A(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(a+5)(a+5-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(a+5)×(a+5)-(a+5)×(-1)\]
（18）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}+A\]
つぎのようになります。
\[A(A+1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+4)(x+4+1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+4)×(x+4)+(x+4)×1\]
（19）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}+A\]
つぎのようになります。
\[-A(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(x-3)(x-3-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(x-3)×(x-3)-(x-3)×(-1)\]
（20）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}-4A\]
つぎのようになります。
\[A(A-4)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-6)(a-6-4)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-6)×(a-6)+(a-6)×(-4)\]
置きかえて因数分解する問題（解答）
勉強のコツはシンプルです。まずはテキストや参考書を読んで理解しましょう。そのとき、数学が苦手で勉強がつらいのならば、できるだけわかりやすいテキストや参考書を探すといいでしょう。
つぎに練習問題を解きます。数学が得意なひとほど良問を解くといいと助言しますが、苦手なひとは同じところを何度も間違えてしまうので、お勧めしません。そこで、数値だけ変えた問題を大量に解いていくといいでしょう。そのような問題はどこにあるのでしょうか。まさしくこのウェブサイトです。
（1）答えはつぎのようになります。
\[-(a+9)(a+13)\]
（2）答えはつぎのようになります。
\[(x-5)(x+3)\]
（3）答えはつぎのようになります。
\[-(x-6)(x+1)\]
（4）答えはつぎのようになります。
\[-(a-2)(a-5)\]
（5）答えはつぎのようになります。
\[(x+6)(x+9)\]
（6）答えはつぎのようになります。
\[(x+7)(x+2)\]
（7）答えはつぎのようになります。
\[-(x+7)(x+14)\]
（8）答えはつぎのようになります。
\[-(x+8)(x+7)\]
（9）答えはつぎのようになります。
\[-(x-9)(x-11)\]
（10）答えはつぎのようになります。
\[(a-4)(a-5)\]
（11）答えはつぎのようになります。
\[(x-1)(x+2)\]
（12）答えはつぎのようになります。
\[-(a-6)(a-1)\]
（13）答えはつぎのようになります。
\[-(a-1)(a-3)\]
（14）答えはつぎのようになります。
\[(x-1)(x+1)\]
（15）答えはつぎのようになります。
\[(x-6)(x+1)\]
（16）答えはつぎのようになります。
\[-(x-3)(x-1)\]
（17）答えはつぎのようになります。
\[-(a+5)(a+4)\]
（18）答えはつぎのようになります。
\[(x+4)(x+5)\]
（19）答えはつぎのようになります。
\[-(x-3)(x-4)\]
（20）答えはつぎのようになります。
\[(a-6)(a-10)\]