【中学数学】置きかえて公式1で因数分解する問題 No.74
こんにちは、石崎です。『5つのパターンで9割わかる！中学数学の文章題』（総合科学出版）などの著者です。さて、数学は、実生活では役立たないと思っているひとも多いと思います。
しかし、もちろんすべてではないですが、数学は実生活で役立ちます。数学の勉強をしっかりしておきましょう。具体的には、まずは基本を理解して、つぎに同じ問題を繰り返し解きましょう。特に計算問題は繰り返し問題を解くことが大切です。というわけで、今回も、はりきって因数分解の演習問題を何度も解きましょう。
計算問題を繰り返し解いて本当に数学が得意になるのかと懐疑的なひともいるかもしれませんが、嘘だと思って解いてみてください。数学が苦手と感じなくなるかもしれませんから。繰り返し式の展開の計算をしているとつらくなるかもしれませんが、それを乗り越えてくださいね。
＜はじめてのひとへ＞
・数式の表示は、MathJaxを利用しています。数式を表示させるにはネット接続とJavascriptを「オン」にすることが必要です。
・このページは印刷できます。詳しい方法は、計算問題を印刷する方法をご覧になってください。
・計算のしかたを工夫すれば楽に計算できるケースもあります。計算式はあくまで目安ですので、あらかじめご了承ください。
・計算問題のページには、ほかにも、たくさん計算問題があります。
＜出題内容＞
・対象：中学三年生（中学数学）
・種類：因数分解（置きかえて因数分解する問題）
・因数分解の方法：公式1で因数分解
・問題数：20問
※公式
\[x^2-y^2=(x+y)(x-y)\]\[x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\]\[x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\]\[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\]\[x^2+(ay+by)x+aby^2=(x+ay)(x+by)\]
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置きかえて因数分解する問題
（1）因数分解してください。
\[(a+9)^2-4\]
（2）因数分解してください。
\[(x+7)^2-64\]
（3）因数分解してください。
\[(a-4)^2-25\]
（4）因数分解してください。
\[(a-7)^2-1\]
（5）因数分解してください。
\[(a-7)^2-49\]
（6）因数分解してください。
\[(x+3)^2-4\]
（7）因数分解してください。
\[(a+8)^2-64\]
（8）因数分解してください。
\[(x-1)^2-16\]
（9）因数分解してください。
\[(a-3)^2-9\]
（10）因数分解してください。
\[(a-9)^2-9\]
（11）因数分解してください。
\[(a-6)^2-49\]
（12）因数分解してください。
\[(a-9)^2-49\]
（13）因数分解してください。
\[(a+2)^2-16\]
（14）因数分解してください。
\[(a+5)^2-16\]
（15）因数分解してください。
\[(x-5)^2-16\]
（16）因数分解してください。
\[(x+1)^2-1\]
（17）因数分解してください。
\[(x-1)^2-1\]
（18）因数分解してください。
\[(a-2)^2-9\]
（19）因数分解してください。
\[(x+2)^2-1\]
（20）因数分解してください。
\[(x+8)^2-4\]
置きかえて因数分解する問題（計算式）
（1）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(2)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+2)(A-2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+9+2)(a+9-2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+9)^2-(2)^2\]
（2）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(8)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+8)(A-8)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+7+8)(x+7-8)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+7)^2-(8)^2\]
（3）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(5)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+5)(A-5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-4+5)(a-4-5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-4)^2-(5)^2\]
（4）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(1)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+1)(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-7+1)(a-7-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-7)^2-(1)^2\]
（5）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(7)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+7)(A-7)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-7+7)(a-7-7)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-7)^2-(7)^2\]
（6）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(2)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+2)(A-2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+3+2)(x+3-2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+3)^2-(2)^2\]
（7）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(8)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+8)(A-8)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+8+8)(a+8-8)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+8)^2-(8)^2\]
（8）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(4)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+4)(A-4)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-1+4)(x-1-4)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-1)^2-(4)^2\]
（9）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(3)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+3)(A-3)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-3+3)(a-3-3)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-3)^2-(3)^2\]
（10）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(3)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+3)(A-3)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-9+3)(a-9-3)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-9)^2-(3)^2\]
（11）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(7)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+7)(A-7)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-6+7)(a-6-7)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-6)^2-(7)^2\]
（12）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(7)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+7)(A-7)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-9+7)(a-9-7)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-9)^2-(7)^2\]
（13）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(4)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+4)(A-4)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+2+4)(a+2-4)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+2)^2-(4)^2\]
（14）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(4)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+4)(A-4)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+5+4)(a+5-4)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+5)^2-(4)^2\]
（15）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(4)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+4)(A-4)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-5+4)(x-5-4)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-5)^2-(4)^2\]
（16）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(1)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+1)(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+1+1)(x+1-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+1)^2-(1)^2\]
（17）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(1)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+1)(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-1+1)(x-1-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-1)^2-(1)^2\]
（18）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(3)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+3)(A-3)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-2+3)(a-2-3)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-2)^2-(3)^2\]
（19）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(1)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+1)(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+2+1)(x+2-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+2)^2-(1)^2\]
（20）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(2)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+2)(A-2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+8+2)(x+8-2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+8)^2-(2)^2\]
置きかえて因数分解する問題（解答）
勉強のコツはシンプルです。まずはしっかりテキストや参考書を読んで理解しましょう。その際、数学が苦手ならば、できるだけわかりやすいテキストや参考書で勉強しましょう。
つぎに演習問題を解きます。良問を解くと効率がいいのですが、数学が苦手なひとにはお勧めしません。同じような問題でも形が少し変わるだけで間違えてしまうためです。そこで、数値だけ変えた練習問題を解いていくといいでしょう。そのような練習問題はどこにあるのでしょうか。まさしくこのウェブサイトです。
（1）答えはつぎのようになります。
\[(a+11)(a+7)\]
（2）答えはつぎのようになります。
\[(x+15)(x-1)\]
（3）答えはつぎのようになります。
\[(a+1)(a-9)\]
（4）答えはつぎのようになります。
\[(a-6)(a-8)\]
（5）答えはつぎのようになります。
\[(a+0)(a-14)\]
（6）答えはつぎのようになります。
\[(x+5)(x+1)\]
（7）答えはつぎのようになります。
\[a(a+16)\]
（8）答えはつぎのようになります。
\[(x+3)(x-5)\]
（9）答えはつぎのようになります。
\[(a+0)(a-6)\]
（10）答えはつぎのようになります。
\[(a-6)(a-12)\]
（11）答えはつぎのようになります。
\[(a+1)(a-13)\]
（12）答えはつぎのようになります。
\[(a-2)(a-16)\]
（13）答えはつぎのようになります。
\[(a+6)(a-2)\]
（14）答えはつぎのようになります。
\[(a+9)(a+1)\]
（15）答えはつぎのようになります。
\[(x-1)(x-9)\]
（16）答えはつぎのようになります。
\[x(x+2)\]
（17）答えはつぎのようになります。
\[(x+0)(x-2)\]
（18）答えはつぎのようになります。
\[(a+1)(a-5)\]
（19）答えはつぎのようになります。
\[(x+3)(x+1)\]
（20）答えはつぎのようになります。
\[(x+10)(x+6)\]