【中学数学】置きかえて共通項（係数なしの変数）で因数分解する問題 No.79
こんにちは、『5つのパターンで9割わかる！中学数学の文章題』（総合科学出版）などの著書がある石崎です。さて、数学は、所詮、入試でしか役立たないと思っているひとも多いのではないでしょうか。
いえいえ、数学は案外役立ちます。数学の勉強をしっかりしておきましょう。具体的には、基本を理解してから同じ問題を繰り返し解くことです。特に計算問題は繰り返し解きましょう。というわけで、はりきって因数分解の演習問題を解きましょう。
＜はじめてのひとへ＞
・数式の表示は、MathJaxを利用しています。数式を表示させるにはネット接続とJavascriptを「オン」にすることが必要です。
・このページは印刷できます。詳しい方法は、計算問題を印刷する方法をご覧になってください。
・計算のしかたを工夫すれば楽に計算できるケースもあります。計算式はあくまで目安ですので、あらかじめご了承ください。
・計算問題のページには、ほかにも、たくさん計算問題があります。
＜出題内容＞
・対象：中学三年生（中学数学）
・種類：因数分解（置きかえて因数分解する問題）
・因数分解の方法：共通項（係数なしの変数）で因数分解
・問題数：20問
※公式
\[x^2-y^2=(x+y)(x-y)\]\[x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\]\[x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\]\[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\]\[x^2+(ay+by)x+aby^2=(x+ay)(x+by)\]
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置きかえて因数分解する問題
（1）因数分解してください。
\[(x+2)^{2}-(x+2)\]
（2）因数分解してください。
\[(x+8)^{2}+(x+8)\]
（3）因数分解してください。
\[(a-3)^{2}-6(a-3)\]
（4）因数分解してください。
\[(x+1)^{2}-4(x+1)\]
（5）因数分解してください。
\[-(x-8)^{2}-3(x-8)\]
（6）因数分解してください。
\[(a+4)^{2}+5(a+4)\]
（7）因数分解してください。
\[-(x+9)^{2}-2(x+9)\]
（8）因数分解してください。
\[-(x-9)^{2}-3(x-9)\]
（9）因数分解してください。
\[(a+2)^{2}-(a+2)\]
（10）因数分解してください。
\[-(a-3)^{2}+3(a-3)\]
（11）因数分解してください。
\[(x+9)^{2}-(x+9)\]
（12）因数分解してください。
\[(x+7)^{2}-(x+7)\]
（13）因数分解してください。
\[-(a+5)^{2}-5(a+5)\]
（14）因数分解してください。
\[(x+1)^{2}+2(x+1)\]
（15）因数分解してください。
\[-(a-1)^{2}-2(a-1)\]
（16）因数分解してください。
\[(a-6)^{2}-2(a-6)\]
（17）因数分解してください。
\[-(a-4)^{2}+4(a-4)\]
（18）因数分解してください。
\[-(x+5)^{2}-5(x+5)\]
（19）因数分解してください。
\[(x+7)^{2}+4(x+7)\]
（20）因数分解してください。
\[-(x+2)^{2}+8(x+2)\]
置きかえて因数分解する問題（計算式）
（1）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}-A\]
つぎのようになります。
\[A(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+2)(x+2-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+2)×(x+2)+(x+2)×(-1)\]
（2）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}+A\]
つぎのようになります。
\[A(A+1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+8)(x+8+1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+8)×(x+8)+(x+8)×1\]
（3）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}-6A\]
つぎのようになります。
\[A(A-6)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-3)(a-3-6)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-3)×(a-3)+(a-3)×(-6)\]
（4）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}-4A\]
つぎのようになります。
\[A(A-4)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+1)(x+1-4)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+1)×(x+1)+(x+1)×(-4)\]
（5）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-3A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+3)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(x-8)(x-8+3)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(x-8)×(x-8)-(x-8)×3\]
（6）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}+5A\]
つぎのようになります。
\[A(A+5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+4)(a+4+5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+4)×(a+4)+(a+4)×5\]
（7）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-2A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(x+9)(x+9+2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(x+9)×(x+9)-(x+9)×2\]
（8）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-3A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+3)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(x-9)(x-9+3)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(x-9)×(x-9)-(x-9)×3\]
（9）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}-A\]
つぎのようになります。
\[A(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+2)(a+2-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+2)×(a+2)+(a+2)×(-1)\]
（10）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}+3A\]
つぎのようになります。
\[-A(A-3)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(a-3)(a-3-3)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(a-3)×(a-3)-(a-3)×(-3)\]
（11）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}-A\]
つぎのようになります。
\[A(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+9)(x+9-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+9)×(x+9)+(x+9)×(-1)\]
（12）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}-A\]
つぎのようになります。
\[A(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+7)(x+7-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+7)×(x+7)+(x+7)×(-1)\]
（13）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-5A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(a+5)(a+5+5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(a+5)×(a+5)-(a+5)×5\]
（14）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}+2A\]
つぎのようになります。
\[A(A+2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+1)(x+1+2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+1)×(x+1)+(x+1)×2\]
（15）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-2A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(a-1)(a-1+2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(a-1)×(a-1)-(a-1)×2\]
（16）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}-2A\]
つぎのようになります。
\[A(A-2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-6)(a-6-2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-6)×(a-6)+(a-6)×(-2)\]
（17）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}+4A\]
つぎのようになります。
\[-A(A-4)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(a-4)(a-4-4)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(a-4)×(a-4)-(a-4)×(-4)\]
（18）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-5A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(x+5)(x+5+5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(x+5)×(x+5)-(x+5)×5\]
（19）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}+4A\]
つぎのようになります。
\[A(A+4)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+7)(x+7+4)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+7)×(x+7)+(x+7)×4\]
（20）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}+8A\]
つぎのようになります。
\[-A(A-8)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(x+2)(x+2-8)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(x+2)×(x+2)-(x+2)×(-8)\]
置きかえて因数分解する問題（解答）
勉強のコツは、まずはテキストや参考書を読んで理解することが重要です。そのとき、数学が苦手で勉強がつらいのならば、わかりやすいテキストや参考書を探すといいでしょう。
つぎに練習問題を解きます。数学が得意なひとほど良問を解くといいと助言しますが、苦手なひとは同じところを何度も間違えてしまうので、お勧めしません。そこで、数値だけ変えた練習問題を大量に解いていくといいでしょう。そのような練習問題があるのが、まさしくこのウェブサイトです。
（1）答えはつぎのようになります。
\[(x+2)(x+1)\]
（2）答えはつぎのようになります。
\[(x+8)(x+9)\]
（3）答えはつぎのようになります。
\[(a-3)(a-9)\]
（4）答えはつぎのようになります。
\[(x+1)(x-3)\]
（5）答えはつぎのようになります。
\[-(x-8)(x-5)\]
（6）答えはつぎのようになります。
\[(a+4)(a+9)\]
（7）答えはつぎのようになります。
\[-(x+9)(x+11)\]
（8）答えはつぎのようになります。
\[-(x-9)(x-6)\]
（9）答えはつぎのようになります。
\[(a+2)(a+1)\]
（10）答えはつぎのようになります。
\[-(a-3)(a-6)\]
（11）答えはつぎのようになります。
\[(x+9)(x+8)\]
（12）答えはつぎのようになります。
\[(x+7)(x+6)\]
（13）答えはつぎのようになります。
\[-(a+5)(a+10)\]
（14）答えはつぎのようになります。
\[(x+1)(x+3)\]
（15）答えはつぎのようになります。
\[-(a-1)(a+1)\]
（16）答えはつぎのようになります。
\[(a-6)(a-8)\]
（17）答えはつぎのようになります。
\[-(a-4)(a-8)\]
（18）答えはつぎのようになります。
\[-(x+5)(x+10)\]
（19）答えはつぎのようになります。
\[(x+7)(x+11)\]
（20）答えはつぎのようになります。
\[-(x+2)(x-6)\]