展開の公式〜高校数学

展開の公式

●問題
「次の式を展開せよ。(6) (２ｘ−３)(４ｘ^2＋６ｘ＋９)」

一見すると分配法則にしたがってやるしかない気もするが・・・？

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

公式を使う。

解法

展開なので、公式とか気にしなくても、分配法則で何とかなりますが、やはり公式を使えるようにしたいです。

しかし、慣れるまでは公式が使えることに気づきにくいと思います。
「もういいや、一個ずつやっちゃえ！」となる前に、落ち着いてそれぞれのかっこの中の項をよく見てください。

１個目のかっこの中は、２ｘと−３ですね。
２個目のかっこの中には、３つの項があり、４ｘ^2と６ｘと９ですね。

４ｘ^2は２ｘを２乗したもの。６ｘは２ｘと−３を掛けて符号を変えたもの。９は−３を２乗したものです。
ということは、前回取り上げた公式、

(ａ＋ｂ)(ａ^2−ａｂ＋ｂ^2)＝ａ^3＋ｂ^3

が使える。と考えます。
ａ＝２ｘ，ｂ＝−３を代入すればＯＫですね。

まずは代入だけをした式を書いて、計算は後からやった方がミスが少なくなります。

　(２ｘ−３)(４ｘ^2＋６ｘ＋９)
＝(２ｘ)^3＋(−３)^3
＝８ｘ^3−２７

これで完成です。

ちなみに、上の公式の符号が違うバージョン、

(ａ−ｂ)(ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2)＝ａ^3−ｂ^3

に、ａ＝２ｘ，ｂ＝３を代入しても、当然同じ値になります。
普通の参考書等では、こちらを使う場合が多いでしょう。
念のためやってみましょう。

　(２ｘ−３)(４ｘ^2＋６ｘ＋９)
＝(２ｘ)^3−３^3
＝８ｘ^3−２７

どっちにしても結果は同じですが、途中経過の違いに気がつきましたか？

解答

８ｘ^3−２７