因数分解の公式 その２〜高校数学

因数分解の公式

●問題
「次の式を因数分解せよ。(2)２７ｘ^3−ｙ^3」

これは高校レベルです(笑)

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

公式を使う。

解法

中学でも習ったように、因数分解というのは展開の逆なので、展開のときの公式の左右を逆にすれば、因数分解の公式になってしまいます。３乗ひく３乗の展開の公式を思い出してみてください。

(ａ−ｂ)(ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2)＝ａ^3−ｂ^3

こんなんでしたね。
これを逆にすれば因数分解の公式です。つまり・・・

ａ^3−ｂ^3＝(ａ−ｂ)(ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2)

これが「３乗ひく３乗」の因数分解の公式です。
展開のときに公式を覚えていれば、因数分解では左右を入れ替えただけですね！

２７ｘ^3＝(３ｘ)^3なので、ａ＝３ｘ，ｂ＝ｙとして、この公式に代入してみます。

　２７ｘ^3−ｙ^3
＝(３ｘ−ｙ){(３ｘ)^2＋３ｘ・ｙ＋ｙ^2}
＝(３ｘ−ｙ)(９ｘ^2＋３ｘｙ＋ｙ^2)

これで完成です。カンタンでしょ？
一つだけ注意点を挙げるとすれば、符号ですね。プラスとマイナスが混じっているので、どこがプラスでどこがマイナスなのか気をつけてください。
「３乗−３乗」の場合は、１個目のかっこの間がマイナスで、２個目のかっこは全部プラスです。

解答

(３ｘ−ｙ)(９ｘ^2＋３ｘｙ＋ｙ^2)