やや複雑な因数分解
●問題
「次の式を因数分解せよ。(4)ｘ^2＋ｙ^2＋２ｘｙ−３ｘ−３ｙ＋２」
項数も多いし、共通因数もないし、戦意喪失してしまう人が続出の問題ですね。 でも、できることをやれば何とかなるかも！？
■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２
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方向性
ｘについての２次式ととらえる。
解法
今回はちょっと複雑な因数分解です。
数Ｉの因数分解の単元の最後の方にこんなのが載っていますね。
数字やら文字やらいっぱいありすぎて、戦意喪失してしまう人も多いですが、これまた単純な問題のときと同じように考えてやってみれば、案外簡単だったりします。
まずは、式をなるべく簡単にします。この場合は、与式をｘについての２次式と考えて、ｘについて整理してみます。
ｘ^2＋ｙ^2＋２ｘｙ−３ｘ−３ｙ＋２
＝ｘ^2＋２ｘｙ−３ｘ＋ｙ^2−３ｙ＋２
＝ｘ^2＋(２ｙ−３)ｘ＋(ｙ−１)(ｙ−２)
ｘについて整理するとこんな感じになるはずです。たぶん、たいていの人はここまでは、やればできると思います。
実は、ここまで来れば出来たも同然です！だって、あとは中学で習った因数分解の基本通りにやればいいんですよ！
例えば、ｘ^2−５ｘ＋６だったら、掛けて６で、足して−５になる数を考えます。
−２と−３なので、因数分解すると(ｘ−２)(ｘ−３)ですね。
これはほとんどの人が苦もなくできると思います。
これと同じことを今回の問題でもやればよいのです。
＝ｘ^2＋(２ｙ−３)ｘ＋(ｙ−１)(ｙ−２)
ｘについての２次式なので、掛けたら(ｙ−１)(ｙ−２)で、足したら(２ｙ−３)になるような二つの数(式)を考えます。
掛けて(ｙ−１)(ｙ−２)になるものは、そりゃあ(ｙ−１)と(ｙ−２)ですね。
この(ｙ−１)と(ｙ−２)は、足したらちゃんと(２ｙ−３)になります。
ってことは、さっき例の−２と−３を(ｙ−１)と(ｙ−２)に変えてしまえばＯＫ！
つまり・・・
＝ｘ^2＋(２ｙ−３)ｘ＋(ｙ−１)(ｙ−２)
＝(ｘ＋ｙ−１)(ｘ＋ｙ−２)
ですね！
実は、今回の問題は、別の方法で解く人も多いです。
別解は次のページで解説します。
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解答
(ｘ＋ｙ−１)(ｘ＋ｙ−２)