やや複雑な因数分解 その２〜高校数学

やや複雑な因数分解

●問題
「次の式を因数分解せよ。(4)ｘ^2＋ｙ^2＋２ｘｙ−３ｘ−３ｙ＋２」

問題そのものは前回と同じです。今回は別解を解説します。

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

式の一部を共通因数でくくる。

解法

今回は前回解説した問題の別解です。

前回のように、並べ替えてから、普通に因数分解するのが王道的なやり方ですが、他の方法もできるんです。

まずもう少し簡単な例で考えてみましょう。

ｘｙ＋ｘ＋ｙ＋１

こんなヤツの場合は、全部に共通する因数もないし、公式も使えないので、式を前半と後半に分けて共通因数でくくったりしますね。まず前半をｘでくくると、

＝ｘ(ｙ＋１)＋ｙ＋１
ここで、ｙ＋１＝Ａとすると、
＝ｘＡ＋Ａ
＝Ａ(ｘ＋１)
＝(ｙ＋１)(ｘ＋１)

これが高校で習う、文字で置き換える問題の最も基本的なものです。
これと同じことを問題の式でもやってみよう。というのが今回の試みです。 分け方は何通りもありますが、今回は前半と後半に分けてやってみましょう。

　ｘ^2＋ｙ^2＋２ｘｙ−３ｘ−３ｙ＋２
＝(ｘ^2＋２ｘｙ＋ｙ^2)−３(ｘ＋ｙ)＋２
＝(ｘ＋ｙ)^2−３(ｘ＋ｙ)＋２
ｘ＋ｙ＝Ａとおくと、
＝Ａ^2−３Ａ＋２
＝(Ａ−１)(Ａ−２)
Ａをもとに戻して
＝(ｘ＋ｙ−１)(ｘ＋ｙ−２)

ってことで、前回の解答と同じになりましたね。めでたしめでたし。

解答

もちろん今回も(ｘ＋ｙ−１)(ｘ＋ｙ−２)