やや複雑な因数分解
●問題
「次の式を因数分解せよ。(5)３ｘ^2−２ｙ^2−５ｘｙ＋ｘ＋５ｙ−２」
２次式の因数分解としては、一番難しい方ですね。
センター試験でもこのくらいの難易度の問題が出題されることがあります。
■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２
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方向性
たすきがけをする。
解法
まずはｘについて整理して、各部分を因数分解してみましょう。
３ｘ^2−２ｙ^2−５ｘｙ＋ｘ＋５ｙ−２
＝３ｘ^2−５ｘｙ＋ｘ−２ｙ^2＋５ｙ−２
＝３ｘ^2＋ｘ(−５ｙ＋１)−(２ｙ^2−５ｙ＋２)
＝３ｘ^2＋ｘ(−５ｙ＋１)−(２ｙ−１)(ｙ−２)
とりあえず、ｘについて整理しました。
一応ここで確認しておきます。
この式はａｘ^2＋ｂｘ＋ｃの形の２次式と考えることが出来ますね。
それならば、たすきがけが出来るかも知れない。と考えてください。
この式をａｘ^2＋ｂｘ＋ｃと比較すると、ａ＝３，ｂ＝−５ｙ＋１，ｃ＝−(２ｙ−１)(ｙ−２)となります。
掛けて−(２ｙ−１)(ｙ−２)となるのは、−(２ｙ−１)と(ｙ−２)または、(２ｙ−１)と−(ｙ−２)ですね。
ここで、たすきがけの手順を確認しておきましょう！
１．まず左端に掛けたらａになる数を縦に並べて書く。
２．次に真ん中に掛けたらｃになる数を縦に並べて書く。
３．これら４つの数字をバッテンに掛けて、その結果を右側に書く。
４．右側の数字を足してｂになれば、正しい数字の組合せを発見！
５．２つのカッコの中にそれらの数字を入れて完成！
では、やってみましょう！
３ ｙ−２ ＝ ｙ−２
×
１ −(２ｙ−１) ＝ −６ｙ＋３
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
３ −(２ｙ−１)(ｙ−２) −５ｙ＋１
これなら計算結果に矛盾はないですね。
＝(３ｘ＋ｙ−２)(ｘ−２ｙ＋１)
因数分解はこの難易度の問題がスムーズに解けるようになっていれば、ひとまずＯＫ！
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解答
(３ｘ＋ｙ−２)(ｘ−２ｙ＋１)