分母の有理化〜高校数学

分母の有理化

●問題
「次の式を有理化せよ。(1)１／(√３＋√２)」

分母に項が２つあります。こんなときは？

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

展開の公式を利用する。

解法

分母の有理化ってのは、分子と分母に同じ数をかけて、分母からルートを消すことですね。分母の有理化自体は、みんな中学で習っていると思います。

数Ｉで新たに習う平方根の計算は、やや複雑な分母の有理化です。

今回の問題のように、分母にルートが２個以上あったりすると、一見して何を掛けてもルートが消えないように見えてしまったりすると思います。
例えば、√２を掛けると√２(√３＋√２)＝√６＋２だし、√３を掛けると√３(√３＋√２)＝３＋√６ですね。片方しかルートが消えません。
これ以外の数を掛けたら、逆にもっと複雑な式になってしまいます。もうお手上げ！(笑)

・・・が、少し発想を転換して展開の公式を利用すると、うまいことルートが消えてしまうのです。

(ａ＋ｂ)(ａ−ｂ)＝ａ^2−ｂ^2

こんな公式がありましたね。
これを使えるように分子と分母に同じ数を掛けてみましょう。
分母に√３＋√２とあるので、これの片方の符号を変えたバージョン√３−√２を掛ければ良さそうです。

　１／(√３＋√２)
＝１・(√３−√２)／(√３＋√２)(√３−√２)
＝(√３−√２)／{(√３)^2−(√２)^2}
＝(√３−√２)／(３−２)
＝(√３−√２)／１
＝√３−√２

分子と分母に(√３−√２)を掛けたら、うまいこと有理化できましたね！
これも高校数学の基礎になる部分なので、完全に理解できるまで繰り返し練習するのが大事ですよ〜！

解答

√３−√２