分母の有理化

●問題
「次の式を有理化せよ。(1)1/(√3+√2)」

分母に項が2つあります。こんなときは?

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・2分の1 → 1/2、5分の3掛けるx → (3/5)x
次数・・・xの2乗 → x^2、2xの2乗 → 2x^2

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方向性

展開の公式を利用する。

解法

分母の有理化ってのは、分子と分母に同じ数をかけて、分母からルートを消すことですね。分母の有理化自体は、みんな中学で習っていると思います。

数Iで新たに習う平方根の計算は、やや複雑な分母の有理化です。

今回の問題のように、分母にルートが2個以上あったりすると、一見して何を掛けてもルートが消えないように見えてしまったりすると思います。
例えば、√2を掛けると√2(√3+√2)=√6+2だし、√3を掛けると√3(√3+√2)=3+√6ですね。片方しかルートが消えません。
これ以外の数を掛けたら、逆にもっと複雑な式になってしまいます。もうお手上げ!(笑)

・・・が、少し発想を転換して展開の公式を利用すると、うまいことルートが消えてしまうのです。

(a+b)(a−b)=a^2−b^2

こんな公式がありましたね。
これを使えるように分子と分母に同じ数を掛けてみましょう。
分母に√3+√2とあるので、これの片方の符号を変えたバージョン√3−√2を掛ければ良さそうです。

 1/(√3+√2)
=1・(√3−√2)/(√3+√2)(√3−√2)
=(√3−√2)/{(√3)^2−(√2)^2}
=(√3−√2)/(3−2)
=(√3−√2)/1
=√3−√2

分子と分母に(√3−√2)を掛けたら、うまいこと有理化できましたね!
これも高校数学の基礎になる部分なので、完全に理解できるまで繰り返し練習するのが大事ですよ〜!

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解答

√3−√2

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