絶対値を含む不等式

●問題
「次の不等式を解け。|−3x+1|<4」

ここらへんから高校数学もつまずく人が多くなってきます。 今まで以上にしっかり式を書いて、やるべき事を一つ一つやりましょう!

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・2分の1 → 1/2、5分の3掛けるx → (3/5)x
次数・・・xの2乗 → x^2、2xの2乗 → 2x^2

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方向性

場合分けしてそれぞれ解く。

解法

今回は絶対値を含む不等式です。
だんだん難しくなってきましたね?難しくなればなるほど、基本に忠実にできることをやるのが大切です。

文字の入った絶対値は場合分けですね。
絶対値の中身が−3x+1なので、これがプラスの場合とマイナスの場合で分けます。
まずはプラスの場合からいってみましょう!

−3x+1≧0すなわちx≦1/3のとき、
−3x+1<4
  −3x<3
    x>−1

場合分けするときの範囲がx≦1/3なので、x>−1との共通部分がこの場合の解です。

よって、−1<x≦1/3


次に、マイナスの場合をやってみます。

−3x+1<0すなわちx>1/3のとき、
−(−3x+1)<4
   3x−1<4
     3x<5
      x<5/3

これはx>1/3のときなので、1/3<x<5/3となります。


絶対値の中身がプラスとマイナスの場合で、二通りの解が出ました。

−1<x≦1/3と1/3<x<5/3は、連続した範囲なので、一つにつなげて答えます。

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解答

−1<x<5/3

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