２次方程式の解の判別 その１〜高校数学

２次方程式の解の判別

●問題
「次の２次方程式の解を判別せよ。ｘ^2−３ｘ＋１＝０」

「判別」なので、解くのではなく・・・？

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

判別式を使う。

解法

「解け」ではなく「判別せよ」とか言っちゃってます（笑）
「判別」って言ってるのだから、そんなときには・・・判別式！！　ですね。

２次方程式ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０の判別式をＤとすると、Ｄ＝ｂ^2−４ａｃという式が成り立ちます。

これは実は、２次方程式の解の公式のルートの中身です。解の公式は、

ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０のとき、
ｘ＝{−ｂ±√(ｂ^2−４ａｃ)}／２ａ

こんなんでしたね。

ルートの中身がプラスなら、ルートの部分が何らかの値になっているので、解が２つできます。つまりＤ＞０のとき「異なる二つの実数解」です。
ルートの中身が０(ゼロ)なら√の部分が消えてしまうので、解は１つです。つまりＤ＝０のとき「重解」です。
ルートの中身がマイナスなら、√の部分は実数では存在しない値になってしまうので、解なしです。つまり、Ｄ＜０のとき「解なし」です。

この判別式を利用すれば、わざわざ方程式を解かなくても、解の個数が簡単にわかる。というわけですね！

では、問題の式のａ，ｂ，ｃを判別式に代入してみます。

２次方程式の解の判別式をＤ＝ｂ^2−４ａｃとする。
ａ＝１，ｂ＝−３，ｃ＝１を代入すると、

Ｄ＝９−４・１・１
　＝９−４
　＝５＞０

よって、与えられた２次方程式は、異なる二つの実数解をもつ。

解答

異なる二つの実数解をもつ