２次方程式の解の判別 その２〜高校数学

２次方程式の解の判別

●問題
「次の２次方程式が異なる二つの実数解を持つときのａの値の範囲を求めよ。ｘ^2＋ｘ＋２ａ＝０」

２次方程式に文字が入ってしまいました。こんなときは・・・？

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

判別式を使う。

解法

「異なる２つの実数解をもつ」とか言っちゃってます。
「判別」って言ってないけど、こんなときには・・・判別式！！ですね(笑)

判別式は解の個数を判別できるのだから、解の個数に関する設問のときは判別式が使える！というわけです。

前回の繰り返しになりますが・・・

２次方程式ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０の判別式をＤとすると、Ｄ＝ｂ^2−４ａｃという式が成り立ちます。

これは実は、２次方程式の解の公式のルートの中身です。解の公式は、

ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０のとき、
ｘ＝{−ｂ±√(ｂ^2−４ａｃ)}／２ａ

こんなんでしたね。

ルートの中身がプラスなら、ルートの部分が何らかの値になっているので、解が２つできます。つまりＤ＞０のとき「異なる二つの実数解」です。
ルートの中身が０(ゼロ)なら√の部分が消えてしまうので、解は１つです。つまりＤ＝０のとき「重解」です。
ルートの中身がマイナスなら、√の部分は実数では存在しない値になってしまうので、解なしです。つまり、Ｄ＜０のとき「解なし」です。

この問題の場合は、「異なる２つの実数解」なので、Ｄ＞０という条件で計算してみればよいです。
ではやってみましょう！

２次方程式の解の判別式をＤ＝ｂ^2−４ａｃとする。
ａ＝１，ｂ＝１，ｃ＝２ａを代入すると、

Ｄ＝１^2−４・１・２ａ
　＝１−８ａ＞０
　　　−８ａ＞−１
　　　　　ａ＜１／８

これがｘ^2＋ｘ＋２ａが異なる２つの実数解をもつときのａの値の範囲になります。

解答

ａ＜１／８