２次関数の頂点 その２〜高校数学

２次関数の頂点

●問題
「次の２次関数の頂点の座標と軸の方程式を求めよ。ｙ＝ｘ^2−４ｘ」

このままでは頂点も軸もわかりません。そんなときは・・・？

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

平方完成する。

解法

今回も２次関数の頂点の問題です。

ｙ＝ａ(ｘ−ｐ)^2＋ｑ という形になっていれば、頂点の座標がわかるのでしたね。
しかし、この問題ではこの形になっていません。

なってないならしてみればよい。

です。そのための最も重要な方法が「平方完成」です。

この「平方完成」という言葉は、２次関数を習った人なら誰でも聞いたことくらいはあると思います。 「２乗の形に完成する」というイメージです。

具体的には、ｙ＝ａ(ｘ−ｐ)^2＋ｑの形にすることを「平方完成する」と言うのだと思ってもらえばＯＫです。
まずは実際にやってみましょう！

ｙ＝ｘ^2−４ｘ
　＝ｘ^2−４ｘ＋４−４　←２乗を作るため、４を足して引いた
　＝(ｘ−２)^2−４　　　←カッコの２乗を作った

このようにすることを「平方完成」と言います。

平方完成すると、ｙ＝ａ(ｘ−ｐ)^2＋ｑ という形になって、頂点の座標(ｐ，ｑ)がわかります。
カッコの中はｘ−ｐなのでｐは符号を変えるけど、ｑはそのままであることに注意してください。

また、軸は放物線の対称軸のことで、頂点を通る縦の線になります。 つまり、軸の方程式はｘ＝ｐとなります。

解答

頂点の座標(２，−４)，軸の方程式ｘ＝２