２次関数とｘ軸との位置関係 その２〜高校数学

２次関数とｘ軸との位置関係

●問題
「次の２次関数がｘ軸と共有点を持たないときのａの値の範囲を求めよ。ｙ＝ｘ^2−３ｘ＋ａ」

高校数学としてはまだまだ基本的ですが、正しい方向性を持たないと、解ける可能性はあまりなさそうです。

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

判別式を使う。

解法

まず、ｘ軸上の点について考えてください。
ｘ軸上の点はどんな点でしょうか？

いろいろ言い方はあると思いますが、ｘ軸上の点は必ずｙ＝０です。

ということは、２次関数とｘ軸との共有点は、ｙ＝０のときの点。といえます。
つまり、２次関数の式にｙ＝０を代入すれば、ｘ軸との共有点の座標が出ます。

与えられた式にｙ＝０を代入してみましょう。

０＝ｘ^2−３ｘ＋ａ

このようになります。
これを解いたものが、ｘ軸との共有点のｘ座標になるわけです。

つまり、「２次関数でｙ＝０にして得られた２次方程式の解がｘ軸との交点になる」のです。

さらに、２次方程式の解が座標になるなら、２次方程式の判別式を使えば、２次関数とｘ軸の共有点の個数も調べられる。というわけです。

すなわち、Ｄ＞０のとき、ｘ軸との共有点は２つ（＝解が２つ）
Ｄ＝０のとき、ｘ軸との共有点は１つ（＝解が１つ。つまり重解）
Ｄ＜０のとき、ｘ軸との共有点なし（＝解がない）


これをこの問題の場合に適用すると・・・

共有点を持たない→Ｄ＜０

Ｄ＝３^2−４・１・ａ
　＝９−４ａ＜０
　　　−４ａ＜−９
　　　　　ａ＞９／４

解答

ａ＞９／４