２次関数とｘ軸との位置関係〜高校数学

２次関数とｘ軸との位置関係

●問題
「次の２次関数がｘ軸と接するときのａの値と接点の座標を求めよ。ｙ＝ｘ^2−ａｘ＋２」

「接する」とか言ってます。こんなときは・・・？

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

判別式を使う。

解法

前回も考えたように、ｘ軸上の点は必ずｙ＝０で、２次方程式の判別式を使えば、２次関数とｘ軸の共有点の個数も調べられる。のでしたね？

すなわち、ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃにおいて、判別式Ｄ＝ｂ^2−４ａｃとすると、

Ｄ＞０のとき、ｘ軸との共有点は２つ（＝解が２つ）
Ｄ＝０のとき、ｘ軸との共有点は１つ（＝解が１つ。つまり重解）
Ｄ＜０のとき、ｘ軸との共有点なし（＝解がない）

今回の問題では、「接する」ので、Ｄ＝０で解きます。

Ｄ＝ｂ^2−４ａｃにａ＝１，ｂ＝−ａ，ｃ＝２を代入すると、
Ｄ＝(−ａ)^2−４・１・２
　＝ａ^2−８＝０
　　　　ａ^2＝８
　　　　　ａ＝±２√２

ａの値の取るべき範囲に特に制限がないので、ａはプラスの場合とマイナスの場合 の両方が有効のようです。
そんなときは、場合分けして二通りの解を求めます。

ａ＝２√２のとき、
ｙ＝ｘ^2−(２√２)ｘ＋２
　＝ｘ^2−(２・√２)ｘ＋(√２)^2
　＝(ｘ−√２)^2＝０
∴ｘ＝√２
よって、接点は(√２，０)

ａ＝−２√２のとき、
ｙ＝ｘ^2＋(２√２)ｘ＋２
　＝ｘ^2−(２・√２)ｘ＋(√２)^2
　＝(ｘ＋√２)^2＝０
∴ｘ＝−√２
よって、接点は(−√２，０)

解答

ａ＝２√２のとき接点(√２，０)，ａ＝−２√２のとき接点(−√２，０)