２次関数とｘ軸との位置関係〜高校数学

２次関数とｘ軸との位置関係

●問題
「次の２次関数のｙ座標がｘ座標にかかわらず常に正の数になるようなａの値の範囲を求めよ。ｙ＝ａｘ^2−２ｘ＋２」

実はコレは、ある問題の表現方法を変えただけです。気づけばたぶん簡単です！

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

判別式を使う。

解法

今回は前置きは省略して、結論からいきます。

　「ｘ座標にかかわらず常に正の数」
→「２次関数のグラフを描いた場合、ｘ軸と共有点を持たない」
→「判別式Ｄ＜０」

というイメージで考えてください。

つまり、与えられた２次関数の係数で判別式Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ＜０ですね！

Ｄ＝(−２)^2−４・ａ・２
　＝４−８ａ＜０
　　　−８ａ＜−４
　　　　　ａ＞１／２

念のため、判別式についておさらいです。

ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃにおいて、判別式Ｄ＝ｂ^2−４ａｃとすると、

Ｄ＞０のとき、ｘ軸との共有点は２つ（＝解が２つ）
Ｄ＝０のとき、ｘ軸との共有点は１つ（＝解が１つ。つまり重解）
Ｄ＜０のとき、ｘ軸との共有点なし（＝解なし）

これらはホントにいろいろなところで出てくるので、完璧に覚えて理解してくださいね！

解答

ａ＞１／２