2次関数の式を求める

●問題
「3点A(2,5), B(−1,2), C(−3,−4)を通る放物線の方程式を求めよ。」

2次関数の範囲でスタンダードなもののうちの1つですね。

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・2分の1 → 1/2、5分の3掛けるx → (3/5)x
次数・・・xの2乗 → x^2、2xの2乗 → 2x^2

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方向性

一般形に代入する。

解法

3点を通る2次関数の式を求めるときは、3点の座標を一般形に代入し、できた方程式を連立して解きます

2次関数の一般形はy=ax^2+bx+cですね。

これに3点の座標を代入してみます。

点Aを代入すると
5=4a+2b+c・・・{1}

点Bを代入すると
2=a−b+c・・・{2}

点Cを代入すると
−4=9a−3b+c・・・{3}

これらを連立方程式として解けば、a,b,cが出て、2次関数の式もわかりますね!
文字が3つ、式も3つなので、少し大変ですが、文字を一つ一つ消していけば大丈夫ですよ!

{1}−{2}より
(4a+2b+c)−(a−b+c)=5−2
  4a+2b+c−a+b−c=3
          3a+3b=3
            a+b=1 ・・・{4}

{2}−{3}より
(a−b+c)−(9a−3b+c)=2−(−4)
  a−b+c−9a+3b−c=2+4
         −8a+2b=6
           4a−b=−3 ・・・{5}

{4}+{5}より
(a+b)+(4a−b)=1+(−3)
        5a=−2
         a=−2/5 ・・・{6}

{6}を{4}に代入すると
−2/5+b=1
     b=1+2/5
     b=5/5+2/5
     b=7/5 ・・・{7}

{6},{7}を{2}に代入すると
−2/5−7/5+c=2
    −9/5+c=2
         c=2+9/5
         c=10/5+9/5
         c=19/5

よって、a=−2/5,b=7/5,c=19/5

これらの値をy=ax^2+bx+cに代入したものが、もとめる放物線の式ですね!

ちなみに、連立方程式の解き方(途中経過)は他にも色々可能です。あくまで上記は一例です。

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解答

y=(−2/5)x^2+(7/5)x+19/5

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