２次関数の式を求める その１〜高校数学

２次関数の式を求める

●問題
「３点Ａ(２，５), Ｂ(−１，２), Ｃ(−３，−４)を通る放物線の方程式を求めよ。」

２次関数の範囲でスタンダードなもののうちの１つですね。

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

一般形に代入する。

解法

３点を通る２次関数の式を求めるときは、３点の座標を一般形に代入し、できた方程式を連立して解きます。

２次関数の一般形はｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃですね。

これに３点の座標を代入してみます。

点Ａを代入すると
５＝４ａ＋２ｂ＋ｃ・・・{1}

点Ｂを代入すると
２＝ａ−ｂ＋ｃ・・・{2}

点Ｃを代入すると
−４＝９ａ−３ｂ＋ｃ・・・{3}

これらを連立方程式として解けば、ａ，ｂ，ｃが出て、２次関数の式もわかりますね！
文字が３つ、式も３つなので、少し大変ですが、文字を一つ一つ消していけば大丈夫ですよ！

{1}−{2}より
(４ａ＋２ｂ＋ｃ)−(ａ−ｂ＋ｃ)＝５−２
　　４ａ＋２ｂ＋ｃ−ａ＋ｂ−ｃ＝３
　　　　　　　　　　３ａ＋３ｂ＝３
　　　　　　　　　　　　ａ＋ｂ＝１　・・・{4}

{2}−{3}より
(ａ−ｂ＋ｃ)−(９ａ−３ｂ＋ｃ)＝２−(−４)
　　ａ−ｂ＋ｃ−９ａ＋３ｂ−ｃ＝２＋４
　　　　　　　　　−８ａ＋２ｂ＝６
　　　　　　　　　　　４ａ−ｂ＝−３　・・・{5}

{4}＋{5}より
(ａ＋ｂ)＋(４ａ−ｂ)＝１＋(−３)
　　　　　　　　５ａ＝−２
　　　　　　　　　ａ＝−２／５　・・・{6}

{6}を{4}に代入すると
−２／５＋ｂ＝１
　　　　　ｂ＝１＋２／５
　　　　　ｂ＝５／５＋２／５
　　　　　ｂ＝７／５　・・・{7}

{6}，{7}を{2}に代入すると
−２／５−７／５＋ｃ＝２
　　　　−９／５＋ｃ＝２
　　　　　　　　　ｃ＝２＋９／５
　　　　　　　　　ｃ＝１０／５＋９／５
　　　　　　　　　ｃ＝１９／５

よって、ａ＝−２／５，ｂ＝７／５，ｃ＝１９／５

これらの値をｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃに代入したものが、もとめる放物線の式ですね！

ちなみに、連立方程式の解き方(途中経過)は他にも色々可能です。あくまで上記は一例です。

解答

ｙ＝(−２／５)ｘ^2＋(７／５)ｘ＋１９／５