２次関数の最大最小(定義域が変動するとき)
●問題
「ｙ＝ｘ^2−２ｘ−３のｍ≦ｘ≦ｍ＋１における最小値を求めよ。」
最小値を聞いていますが、定義域が移動してしまうようです。ほとんどこのままの問題を大学入試で見たり見なかったり(笑)
■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２
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方向性
とにかく頂点を出してみる。頂点と定義域の位置関係を調べる。
解法
すでにこのサイトでも何度も書いていますが、２次関数の最大最小といえば、頂点！です。
関数の式に文字が入っていようが、定義域が移動しようが、まずは頂点の座標を知るのが大切です。
そして、頂点を求めるならば平方完成ですね！
ｙ＝ｘ^2−２ｘ−３
＝(ｘ−１)^2−１^2−３
＝(ｘ−１)^2−４
よって、頂点(１，−４)
この２次関数はｘの２乗の項の係数が１でプラスなので、下に凸の放物線です。
まずはそのようなグラフを描いてください。
頂点が(１，−４)で、下に凸の放物線です。ｘ＝０のとき、ｙ＝−３なのでｙ切片が−３にも注意すると、グラフが描きやすいはずです。
描けましたか？描けたら、定義域をグラフに示してください。
・・・とは言っても、定義域はｍ≦ｘ≦ｍ＋１なので、どこになるのかわかりませんね。
そんなときは、定義域が左から移動していく様子をイメージしてください。
座標平面の左端からｍ〜ｍ＋１のゾーンがゆっくり移動していきます。すると・・・
ｍ〜ｍ＋１のゾーンの右端が、頂点にかかる前は、定義域の右端が最小。
ｍ〜ｍ＋１のゾーンの中に頂点があるときは、頂点が最小。
ｍ〜ｍ＋１のゾーンが頂点を通り過ぎたあとは、頂点の左端が最小。
であるとわかるはず・・・ですね！？
まずはこのイメージが大切です。
いきなりしっくる人はあまりいないと思うので、定義域が移動していくイメージをグラフを描きながら何度も頭の中で再生してください。
何度もイメージしてみれば、いつか必ずすっきりと納得できる瞬間がありますよ！
イメージがつかめたところで(?)実際に式に表し、最小値を求めてみましょう！
まず、定義域のｍ〜ｍ＋１のゾーンが頂点(１，−４)の左側にある場合。ｍ＋１＜１よりｍ＜０ですね。
このときは、定義域の右端が最小です。定義域の右端のｘ座標はｍ＋１なので、与式に代入すると、
ｙ＝(ｍ＋１)^2−２(ｍ＋１)−３
＝ｍ^2＋２ｍ＋１−２ｍ−２−３
＝ｍ^2−４ ←この場合の最小値
次に、頂点がｍ〜ｍ＋１のゾーンの中にある場合。ｍ≦１≦ｍ＋１より０≦ｍ≦１ですね。
このときは、頂点が最小です。
そして、ｍ〜ｍ＋１のゾーンが頂点を通り過ぎた場合。ｍ＞１ですね。
このときは、定義域の左端が最小です。定義域の左端はｘ＝ｍなので、与式に代入すると、
ｙ＝ｍ^2−２ｍ−３
これで全ての場合の最小値が出ました。
このように、定義域の場所によって、最小値の場所も変わるので、適切に場合分けをしなければいけないのです。
慣れていない人にとっては、ものすごく大変だったと思います。
しかし、大学受験レベルではこれでも簡単な方ですし、慣れれば「こんなの楽勝！」ってなりますよ！
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解答
ｍ＜０のとき、ｘ＝ｍ＋１で最小値ｍ^2−４，
０≦ｍ≦１のとき、ｘ＝１で最小値−４
ｍ＞１のとき、ｘ＝ｍで最小値ｍ^2−２ｍ−３