２次関数の最大最小(定義域が変動するとき)
●問題
「ｙ＝ｘ^2−２ｘ−３のｍ≦ｘ≦ｍ＋１における最大値・最小値を求めよ。」
最大値と最小値をまとめて聞いています。数１の２次関数の問題で最も面倒なやつです(笑)
■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２
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方向性
とにかく頂点を出してみる。頂点と定義域の位置関係を調べる。
解法
注：途中までは前回とほぼ同じです。
すでにこのサイトでも何度も書いていますが、２次関数の最大最小といえば、頂点！です。
関数の式に文字が入っていようが、定義域が移動しようが、まずは頂点の座標を知るのが大切です。
そして、頂点を求めるならば平方完成ですね！
ｙ＝ｘ^2−２ｘ−３
＝(ｘ−１)^2−１^2−３
＝(ｘ−１)^2−４
よって、頂点(１，−４)
この２次関数はｘの２乗の項の係数が１でプラスなので、下に凸の放物線です。
まずはそのようなグラフを描いてください。
頂点が(１，−４)で、下に凸の放物線です。ｘ＝０のとき、ｙ＝−３なのでｙ切片が−３にも注意すると、グラフが描きやすいはずです。
描けましたか？描けたら、定義域をグラフに示してください。
・・・とは言っても、定義域はｍ≦ｘ≦ｍ＋１なので、どこになるのかわかりませんね。
そんなときは、定義域が左から移動していく様子をイメージしてください。
座標平面の左端からｍ〜ｍ＋１のゾーンがゆっくり移動していきます。すると・・・
ｍ〜ｍ＋１のゾーンの右端が、頂点にかかる前(ｍ＜０)は、定義域の左端が最大で右端が最小。
ｍ〜ｍ＋１のゾーンの中に頂点があるとき(０≦ｍ≦１)は、頂点が最小。
ｍ〜ｍ＋１のゾーンが頂点を通り過ぎたあと(ｍ≧１)は、頂点の左端が最小で右端が最大。
ですが、頂点が最小になる場合をもう少し細かく分けなければいけません。
頂点が定義域に入っていれば、頂点は最小に違いありませんが、最大値は右端の場合と左端の場合、そしてちょうど両端が同じ場合がありますよね？
これはどう分けるかというと、「両端が同じ場合」が境目になります。
ちょうど両端が同じ場合より少しでも左に定義域が動けば、左端の方が右端より大きくなります。
逆に少しでも右に定義域が動けば、右端の方が左端よりも大きくなります。
そして、「両端がちょうど同じ場合」は、頂点が定義域のちょうど真ん中にきます。
今回の問題の場合は、(ｍ＋ｍ＋１)／２＝１よりｍ＝１／２のときに、頂点が定義域の真ん中にくるのです。
ということで、頂点が最小の場合は、さらに次のように分けられます。
ｍ〜ｍ＋１のちょうど真ん中に頂点がある、すなわちｍ＝１／２のとき、定義域の両端が最大で頂点が最小。
真ん中より左側に定義域がずれた、すなわち０≦ｍ＜１／２のとき、定義域の左端が最大で頂点が最小。
真ん中より右側に定義域がずれた、すなわち１／２≦ｍ≦１のとき、定義域の右端が最大で頂点が最小。
これで最大最小の場合分けは完成です。最大最小は両方をまとめて考えると、最大で５通りに場合分けできるのです。
あとは、それぞの値をしっかり確認しながら答えてもらえればＯＫ！
・・・大変ですが、がんばって！
一応、最大最小を答えるために使う値を求めておきましょう。
定義域の右端はｘ＝ｍ＋１なのでｙ＝ｍ^2−４
定義域の左端はｘ＝ｍなのでｙ＝ｍ^2−２ｍ−３
頂点は(１，−４)
ですね！
ちなみに、実際の大学入試では５通り全部を答える問題はあまりありません。
他に何か条件を追加して、２〜３通りになるようにしてある場合が多いです。
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解答
ｍ＜０のとき、ｘ＝ｍ＋１で最小値ｍ^2−４，ｘ＝ｍで最大値ｍ^2−２ｍ−３
０≦ｍ＜１／２のとき、ｘ＝１で最小値−４，ｘ＝ｍで最大値ｍ^2−２ｍ−３
ｍ＝１／２のとき、ｘ＝１で最小値−４，ｘ＝ｍ，ｍ＋１すなわち１／２，３／で最大値−１５／４
１／２＜ｍ≦１のとき、ｘ＝１で最小値−４，ｘ＝ｍ＋１で最大値ｍ^2−４
ｍ＞１のとき、ｘ＝ｍで最小値ｍ^2−２ｍ−３