２次不等式の解き方 その１〜高校数学

２次不等式の解き方

●問題
「次の２次不等式を解け。(1) ｘ^2−３ｘ＜０」

まずは初歩的な２次不等式をやってみましょう！

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

２次関数のグラフを考え、ｘ軸との交点を求める。

解法

１次不等式の場合と同じく、まずは不等号を＝(イコール)に置き換えて計算してみるのも一つの方法です。

ｘ^2−３ｘ＝０とすると、
ｘ(ｘ−３)＝０
∴ｘ＝０，３

このようになりました。
ここでひとつ疑問です。
このｘ＝０，３というのは何を意味しているのでしょうか？

書いた式そのままから導くと、「＝０」のときのｘの値ですよね？
そりゃそうなんですが、このままではやっぱりよくわかりません。

「＝０」のときのｘの値というのは何を意味するのか、さらに考えてみましょう。


ｙ＝ｘ^2−３ｘという２次関数があったとします。
この２次関数で、「＝０」となる場合を考えてみます。

すると、つまり・・・


ｙ＝０のときのｘの値を意味することになります。
「＝０」ということは、ｙに０を代入した場合と同じ意味になりますね。

さらにもう少し突っ込んで言えば、「ｘ軸との交点のｘ座標」でも同じです。


つまり、不等号を＝に置き換えて計算すると、ｙ＝(左辺)とした場合の、ｘ軸との交点を表すことになります。
この問題の場合は、ｘ＝０，３でｘ軸と交わる２次関数のグラフが描けます。

そして、与式はｘ^2−３ｘ＜０なので、式の値が０(ゼロ)より小さい部分、すなわち２次関数のグラフのｘ軸より下側の部分のｘの範囲が、この２次不等式の解になります。


ちょっと長くなりましたが、まとめると・・・

(1) ｘ^2−３ｘ＜０
ｘ^2−３ｘ＝０とすると
、 ｘ(ｘ−３)＝０
∴ｘ＝０，３

よって、０＜ｘ＜３

解答

０＜ｘ＜３