三角比の相互関係 その２〜高校数学

三角比の相互関係

●問題
「ｓｉｎＡ＝３／５のとき、ｃｏｓＡ，ｔａｎＡを求めよ。ただし、∠Ａは鋭角とする。」

今回は三角比の相互関係の公式を使わず解いてみます。両方できるようにしておくとよいですよ！

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

三平方の定理を使う。

解法

まずは三角比の基本のおさらいです。

サインは斜め分の縦、コサインは斜め分の横、タンジェントは横分の縦

でしたね。つまり、

ｓｉｎθ＝ｙ／ｒ，ｃｏｓθ＝ｘ／ｒ，ｔａｎθ＝ｙ／ｘ

です
。 ここでいうｘ，ｙ，ｒは、それぞれ、左下がθで、右下が直角の直角三角形の横、縦、斜めです。・・・よね？

直角三角形ならば、三平方の定理が成り立ちます。
ｘ^2＋ｙ^2＝ｒ^2 ですね。

ちなみに、ｒ^2＋ｘ^2＝ｙ^2 や、ｒ^2＋ｙ^2＝ｘ^2などにはなりません。
斜めがｒなので、ｒは必ず斜辺（一番長い辺）になるからです。

三平方の定理が成り立つならば、三辺を求めることができそうです。

ｓｉｎＡ＝３／５ならば、ｙ＝３，ｒ＝５ですね。
ｘ^2＋３^2＝５^2
　ｘ^2＋９＝２５
　　　ｘ^2＝２５−９
　　　ｘ^2＝１６
　　　　ｘ＝±４
∠Ａは鋭角なので、ｘ＝４

ということで、ｘ，ｙ，ｒが全て出ました。

先ほどのｓｉｎθ＝ｙ／ｒ，ｃｏｓθ＝ｘ／ｒ，ｔａｎθ＝ｙ／ｘ を活用すれば、残りのコサインとタンジェントも簡単に出ます。

ｃｏｓＡ＝４／５，ｔａｎＡ＝３／４

解答

ｃｏｓＡ＝４／５，ｔａｎＡ＝３／４