三角比の相互関係 その３〜高校数学

三角比の相互関係

●問題
「△ＡＢＣにおいて、ｃｏｓＡ＝−１／√５のとき、ｓｉｎＡ，ｔａｎＡを求めよ。」

今回は「鋭角」とか言っていないが・・・？

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

相互関係の公式を使う。

解法

コサインの値がマイナスで与えられていますね。
これはどういうことでしょうか？

プラスなら鋭角だから・・・

コサインがマイナスなら∠Ａは鈍角つまり、９０°以上ですね！
さらに、∠Ａは△ＡＢＣの角だから、１８０°未満です。

このように、与えられた条件から自分で角度の範囲を考える場合もあります。

９０°以上１８０°未満ではサインはプラスのままですが、タンジェントはマイナスですね。
ってことで、三角比の相互関係の公式に代入すると・・・

(ｓｉｎＡ)^2＋(ｃｏｓＡ)^2＝１
(ｓｉｎＡ)^2＋(−１／√５)^2＝１
　　　　(ｓｉｎＡ)^2＋１／５＝１
　　　　　　　　(ｓｉｎＡ)^2＝１−１／５
　　　　　　　　(ｓｉｎＡ)^2＝４／５
　　　　　　　　　　ｓｉｎＡ＝２／√５

ｔａｎＡ＝ｓｉｎＡ／ｃｏｓＡ
　　　　＝(２／√５)／(−１／√５)
　　　　＝−２

最初に予測したとおりに、サインはプラス、タンジェントはマイナスになりました。
このように、予測を立ててから計算すると、ミスをした場合に気づきやすくなりますよ！

ちなみに、三角比の値は、分母の有理化をしなくても正解とする場合があるようです。
センター試験では有理化をした形で答えるよう回答欄が作られていますが、記述式のテストの場合は、どちらでもＯＫかも？

解答

ｓｉｎＡ＝２／√５(＝２√５／５)，ｔａｎＡ＝−２