基本的な三角方程式 その１〜高校数学

基本的な三角方程式

●問題
「ｃｏｓθ＝１／２のとき、θの値を求めよ。(0°≦θ≦180°)」

最も初歩的な三角方程式の問題です。θを変数ととらえて考えます。

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

単位円を考える。

解法

三角比の値がわかっていて、角度がわからない場合に、計算で角度を求める。 みたいなことをやるのが三角方程式です。

この場合はコサインの値が１／２とわかっているので、そのとき何度なのかを求めれば良いです。

原点を中心とする半円(単位円)を描いて、ｘ軸の右側の部分から回転した角度がθと考えます。そして、θだけ回転した円周上からｘ軸に垂線を下ろした場合にできる直角三角形でｘ，ｙ，ｒを考えます。

この問題ではｃｏｓθ＝１／２で、一般的にｃｏｓθ＝ｘ／ｒなので、ｒ＝２，ｘ＝１です。

直角三角形で、ｘ＝１，ｒ＝２ならば、ｙ＝√３ですね。
つまり、ｃｏｓθ＝１／２のとき、１：２：√３の直角三角形ができる。というわけです。
ｘ＝１，ｙ＝√３より、横が１，縦が√３なので、左下が６０°、右下が直角の三角形を考えます。

これは、０°のところから６０°回転した場合ですね。

まずはθ＝６０°のときｃｏｓθ＝１／２がわかりました。


他にもｃｏｓθ＝１／２となる場合はないでしょうか？

ｙ軸の左側にも同じ形の三角形を作ることができますが、その場合はθが９０°を超えてしまい、コサインの値はマイナスになってしまいます。

ということで、０°≦θ≦１８０°の範囲では、θ＝６０°の場合だけが求めるθの値になるのです。

三角方程式は、三角比の表を覚えて乗り切ってしまう人もいますが、忘れてしまった場合にお手上げ状態になってしまうし、覚えただけでは応用が利かないので、ちゃんと単位円を描いて考えられるようにした方がよいですよ！

解答

θ＝６０°