基本的な三角方程式 その２〜高校数学

基本的な三角方程式

●問題
「ｓｉｎθ＝√２／２のとき、θの値を求めよ。(0°≦θ≦180°)」

初歩的な三角方程式の問題です。θを変数ととらえて考えます。

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

単位円を考える。

解法

まずは、ｘｙ平面を描いて、原点を中心とする半円を描きます。
ｘ軸の右側の部分が０°として半径の線が原点を中心として回転するイメージで考えてください。

サインは「斜め分の縦」つまり、ｓｉｎθ＝ｙ／ｒでしたね。
これが√２／２となる場合は、ｙ＝√２で、ｒ＝２となるときです。

そんなときは・・・ｘ＝√２なので、√２：√２：２＝１：１：√２の直角三角形になります。
角度は４５°，４５°，９０°になりますね。

右下を直角にすると、左下は４５°なので、θ＝４５°


実はこれで終わりではありません。
どうしてかと言うと、ｓｉｎθ＝√２／２になるときが他にもあるからです。

半円の半径が回転していくとき、４５°の場合と同じ形の三角形ができるときが他にもありますね。

θ＝１３５°のときです。

サインはｘの値（横の長さ）は関係ないので、左側でもプラスです。
だから、サインは数１の範囲(０°≦θ≦１８０°)でも解が二つになるときがあります。

この場合は鋭角や鈍角などの指定はないので、４５°だけでなく、１３５°も適切な値だと言うことができます。


三角方程式は、三角比の表を覚えて乗り切ってしまう人もいますが、忘れてしまった場合にお手上げ状態になってしまうし、覚えただけでは応用が利かないので、ちゃんと単位円を描いて考えられるようにした方がよいですよ！

解答

θ＝４５°，１３５°