正弦定理の公式 その１〜高校数学

正弦定理の公式

●問題
「△ＡＢＣで、ｓｉｎＡ＝１／２，ｓｉｎＢ＝√３／２、ａ＝５のとき、ｂの値を求めよ。」

サインの値が２ヶ所わかっていて、辺の長さを求める問題です。そんなときは・・・？

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

正弦定理を使う。

解法

三角形ＡＢＣにおいて、外接円の半径をＲとすると、

ａ／ｓｉｎＡ＝ｂ／ｓｉｎＢ＝ｃ／ｓｉｎＣ＝２Ｒ

こんな公式がありますね。
これを「正弦定理」といいます。

正弦定理は、角と辺、外接円の半径Ｒの関係を表した公式です。

・２角と１辺がわかっているとき
・外接円の半径か直径がわかっているとき
・１角と対辺がわかっているとき

などに使うことができます。

今回の問題では、２角のサインと１辺がわかっているので、そのまま正弦定理に代入できます。

ａ／ｓｉｎＡ＝ｂ／ｓｉｎＢ

この部分を取り出し、これに与えられた値を代入してみます。

ａ／ｓｉｎＡ＝ｂ／ｓｉｎＢ
５／(１／２)＝ｂ／(√３／２)　← 代入した
　　１０／１＝２ｂ／√３　　　← 両辺の分子と分母に２を掛けた
　２ｂ／√３＝１０　　　　　　← 両辺を入れ替えた
　　　　２ｂ＝１０√３　　　　← 両辺に√３を掛けた
　　　　　ｂ＝５√３

解答

ｂ＝５√３