三角比の式の証明〜高校数学

三角比の式の証明

●問題
「次の等式を証明せよ。(ｓｉｎθ)^2−(ｓｉｎθ)^4＝(ｃｏｓθ)^2−(ｃｏｓθ)^4」

証明というと、「難しい」というイメージが先行して、拒否反応を示す人が多いですね。でも、実は式の証明は簡単なんですよ！

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

とにかく計算する。

解法

「証明」という言葉自体に拒否反応を示す人も多いですが、等式の証明は実は大したことはありません。
その式が成り立つのだから、テキトーに計算してみれば良いわけです(笑)

基本は、「左辺を計算したら右辺になる」ことを示せばＯＫ！

場合によっては、

「左辺と右辺をそれぞれ計算したら、等しくなる」
「左辺から右辺を引いたらゼロ」

などを示せばよいのです。

ここでは基本に忠実に「左辺を計算したら右辺になる」でやってみます。

(左辺)＝(ｓｉｎθ)^2−(ｓｉｎθ)^4
　　　＝(ｓｉｎθ)^2{１−(ｓｉｎθ)^2}　←サインの２乗でくくった
　　　＝{１−(ｃｏｓθ)^2}(ｃｏｓθ)^2　←相互関係を使った
　　　＝(ｃｏｓθ)^2−(ｃｏｓθ)^4　　　←展開した
　　　＝(右辺)


左辺を計算していったら、右辺と等しくなったのだから、これで証明したことになります。

もちろん他の方法でもできますので、気になる人はチャレンジしてみてくださいね！

解答

ちゃんと両辺は等しくなりました！