同じものを含む順列〜高校数学

同じものを含む順列

●問題
「11122の計５枚のカードがある。これを一列に並べ、５桁の整数を作るとき整数は何通りできるか求めよ。」

５枚を並べるから、５の階乗！・・・でしょうか？

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

重複する数に注意する。

解法

一見してわかるように、並べる数字には同じものが含まれています。

ということは、いわゆる「同じものを含む順列」です。

単に５枚並べるだけならば、もちろん5Ｐ5つまり、５の階乗でＯＫです。 しかし、同じものを含む場合は、それでは数えすぎになってしまいます。

今回の問題の場合は３つの１は互いに区別できません。
ほかの部分の並べ方１つにつき３つの１の並べ方は、3Ｐ3通りあります。
これらの並べ方は区別できないので、同じものとしてしまいます。
つまり、３Ｐ３で割ります。

２つの２も互いに区別できません。
同様に2Ｐ2で割ります。

よって、求める場合の数は

　(5Ｐ5)／(3Ｐ3・2Ｐ2)
＝(５・４・３・２・１)／(３・２・１)・(２・１)
＝５・２
＝１０(通り)

ちなみに、場合の数は必ず整数になるので、もし割り切れなくなってしまった場合は、どこかで間違っていますよ！

解答

１０通り