食塩水の問題（連立方程式の応用）
●問題
「濃度が３％の食塩水と８％の食塩水を混ぜて、６％の食塩水を６００グラム作りたい。それぞれ何グラムずつ混ぜればよいか求めよ。」
この問題は１次方程式でも解けますが、普通は連立方程式で解くことが多いようです。
パーセントの問題は苦手な人が多いようですね。
確かに簡単ではないかも知れませんが、はじめから諦めてしまうほどではありません。
■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２
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方向性（正攻法）
食塩水の重さについての式と、食塩水に含まれる食塩の重さについての式を作り、連立方程式を解く。
解法（正攻法）
文章問題では、まずはじめに何を文字で表すのかを書いておきます。
たいていは求めるものを文字で表します。
この問題では・・・
「３％の食塩水の重さをｘグラム、８％の食塩水の重さをｙグラムとする。」
このように書くのが普通でしょう。
ここで「重さ」と単位は忘れずに書きます。
これをちゃんと書かないと途中でどの文字が何を表していて、何を求めるのか考えているうちにわからなくなってしまい、混乱することが多いですよ。
求めるものを文字で表したら、問題の条件に合わせて、食塩水の重さについての式と、食塩水に含まれる食塩の重さの式を作ります。
文字が二つなので、解くためには式も二つ必要です。
食塩水の重さについての式は・・・
「３％の食塩水の重さと８％の食塩水の重さを足すと、６００グラムになる。」と考えて作ります。
「３％の食塩水の重さはｘグラム」「８％の食塩水の重さはｙグラム」と先ほど決めたので、そのまま利用します。すると・・・
「ｘ＋ｙ＝６００」という式ができますね。これを{1}とします。
食塩水に含まれる食塩の重さについての式は・・・
「３％の食塩水ｘグラムに含まれる食塩の重さと、８％の食塩水ｙグラムに含まれる食塩の重さを足すと、６％の食塩水６００グラムに含まれる食塩の重さになる。」と考えて作ります。
こっちはちょっとややこしいですね。少し解説しましょう。
「３％の食塩水ｘグラムに含まれる食塩の重さ」をどうすれば表せるかというと・・・
「３％の食塩水」は、その食塩水の重さのうちの３％が食塩の重さです。
よって、この問題ではｘグラムの３％が食塩です。
３％は３／１００なので、(３／１００)ｘ が「３％の食塩水ｘグラムに含まれる食塩の重さ」になります。
８％の食塩水、６％の食塩水についてもそれぞれこのようにすれば表せるはずです。
(８／１００)ｙ，(６／１００)×６００ですね。
これらがそれぞれの食塩水に含まれる食塩の重さなので、
「(３／１００)ｘ＋(８／１００)ｙ＝(６／１００)×６００」という式ができました！これを{2}とします。
式が２つできたら連立させて解けば答えが出ます。
それではがんばって解いてみましょう！
まず、{2}の式がちょっと複雑なので、変形して簡単にしてみましょう。
(３／１００)ｘ＋(８／１００)ｙ＝(６／１００)×６００
３ｘ＋８ｙ＝６×６００
３ｘ＋８ｙ＝３６００・・・{3}
{3}−{1}×３より
５ｙ＝１８００
ｙ＝３６０・・・{4}
{4}を{1}に代入すると
ｘ＋３６０＝６００
ｘ＝２４０
よって、ｘ＝２４０，ｙ＝３６０
あとは問題文を読み返して、聞かれていることに答えればＯＫですね！
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解答
３％の食塩水が２４０ｇ，８％の食塩水が３６０ｇ
正攻法以外の解き方もある！
先ほど、正攻法の解き方を説明しましたが、普通はやらない解き方もやってみちゃいます。ただし、この解き方では不正解になってしまう場合があるかも知れません(^^;
方向性（正攻法ではない方法）
例えば、３％の食塩水と８％の食塩水が同じだけあったら・・・？
解放（正攻法ではない方法）
もし、３％の食塩水が６００グラム、８％の食塩水が０グラムあったら、これらを混ぜる（？）と、３％の食塩水が６００グラムできます。
また、３％の食塩水が０グラム、８％の食塩水が６００グラムあったとしたなら、これらを混ぜる（？）と、８％の食塩水が６００グラムできます。
（「そりゃそうだ」という声が聞こえてきそう・・・(^^;）
さらに、３％の食塩水と８％の食塩水が３００グラムずつあったとしたなら、これらを混ぜると、５．５％の食塩水が６００グラムできますよね。
３％と８％のちょうど真ん中は５．５％ですね。
もう少しだけ８％の食塩水の量が多かったら、６％になります。
あと、０．５％分だけ足りません。
ここまでいいですか？
以上のことをよく考えてみると、混ぜる前の食塩水のそれぞれの重さと、混ぜた後の食塩水の濃度に、ある一定の関係があることがわかります。よね？
３％の食塩水が６００グラムだったときは、混ぜた後の濃度は３％。
３％の食塩水が３００グラムだったときは、混ぜた後の濃度は５．５％。
３％の食塩水が０グラムだったときは、混ぜた後の濃度は８％ですね。
つまり、３％の食塩水が３００グラム減ると、混ぜた後の濃度は２．５％増えるのです。
３００グラムで２．５％変わるから・・・
濃度を０．５％増やすためには・・・
３％の食塩水を、６０グラム減らせばいいのです。
どうですか？
正攻法の解法がわからない場合でも、自分にとってわかりやすい例を考えて、そこから正解に近づいていけるはずです。
解き方が全く見当もつかなくても、まずはチャレンジはしてみましょう！