多角形の性質
●問題
「正五角形ＡＢＣＤＥがあり、ＡとＣ、ＢとＥをそれぞれ結び、
その交点をＰとする。このとき、∠ＥＰＣを求めよ。」
一見すると、一個も角度がわかっていないが・・・？
■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２
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方向性
図を描き、わかることを一つ一つ書き込んでいく。
解法
辺の長さもわからない。角度も与えられていない。
図を描いた時点では、何一つわかることは無いように見えますよね？
・・・ですが、問題文をよく読むと重要なポイントがあります。
「正五角形ＡＢＣＤＥ」とあります。
正五角形なので、全ての内角が等しい。それだけでなく、全ての外角も等しいです。
内角の和または外角の和がわかれば、五角形の５つの角は全て求めることができてしまいますよね。
・・・ってことで、まずは内角の和を求めてみましょう。
ｎ角形の内角の和は(ｎ−２)×１８０°で求めることができます。
この場合は５角形でｎ＝５なので、内角の和は、
(５−２)×１８０°＝５４０°
正五角形は５つの角が全て等しいので、１つの内角は、
５４０°÷５＝１０８°
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外角の和からも同様のことを導くことができます。
「多角形の外角の和は３６０°である。」
こんな性質がありましたね。これは何角形でも変わりません。
三角形でも、四角形でも、五角形でも、六角形でも・・・百角形でも！
ので、正五角形の一つの外角は３６０°÷５＝７２°と求めることができます。
さらに「内角と外角の和は１８０°」なので、１８０°−７２°＝１０８°となります。
うまく使えるよう練習すれば、こちらの方が簡単かもしれませんね。
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また、正五角形は５つの辺が全て等しいので、設問で言われている点同士を結んでできた三角形は二等辺三角形になったりします。
例えば△ＡＢＥ，△ＢＡＣが二等辺三角形です。ぜひ図を描いて確認してみてください。
二等辺三角形は底角が等しいですね。
ってことは、∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢだったり、他にもココとアソコが同じで・・・あ、ココも同じだ！
みたいな感じで、いろいろと発見があるでしょう！
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以上のような事柄を利用して、わかることを図に書き込んでいけば、必ず正解にたどり着けるはずです。
それでは、諦めずにがんばってみましょ〜！！
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解答
１０８°