多角形の性質
●問題
「ＡＢ＝８，ＢＣ＝１６，∠ＡＢＣ＝９０°の直角三角形ＡＢＣがあり、
ＡＣの中点をＯとし、ＢＣ上を点Ｐが動くとき、次の問に答えよ。
(1)∠ＡＯＰ＝９０°となるのは、ＢＰの長さがいくつのときか。」
平面図形の性質と、動点が複合した問題です。
県立高校入試では標準的な難易度の問題といえるでしょう。
この問題くらいまで解けるようにしておけば、入試でも70点程度は取れそうです。
■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２
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方向性
とにかく、図の中にわかることをもれなく書き込む！
解法
この手の図形の問題では、わかっていることを全て図の中に書き込むのが、とても重要です。
「わざわざ書かなくても分かり切っているよ」なんて思うようなことも、全て例外なく書いてみましょう。
まず、∠Ｂが直角の△ＡＢＣを描きます。ＯはＡＣの中点なので、ＡＣの真ん中にＯを書き入れます。
ＡＢ＝８，ＢＣ＝１６なので、これらの長さも書き入れます。
点Ｐは動く点ですが、問題で「∠ＡＯＰ＝９０°」と言っているので、その場合の点Ｐを図に書き込んでみます。
つまり、Ｏを通るＡＣの垂線を引いてみればいいですね。
・・・書けましたか？
あとはこの図を見て、何かに気がつくまでじっくり考えてみましょう。
図形の問題に慣れている人はすぐ気づくと思いますが、みなさんはどうですか？？
さて、一呼吸おいたところで続きです。
先ほど線分ＯＰを∠ＡＯＰ＝９０°となるように引いてみました。・・・よね？
ということは、ＯＰを引いたことでできた△ＰＯＣは直角三角形です。
そして、問題で最初に与えられた△ＡＢＣは直角三角形です。
さらに、頂点Ｃのところの∠Ｃは、二つの三角形に共通しています。
ということは、△ＡＢＣと△ＰＯＣは「二組の角がそれぞれ等しい」という相似条件を満たしています。
よって、△ＡＢＣと△ＰＯＣは相似です。
ちなみに、他の相似条件は「三組の辺の比が全て等しい」「二組の辺の比とそのはさむ角がそれぞれ等しい」でしたね。
高校入試程度の数学では必ず覚えておきたい条件です。
覚えていなかった人は、手遅れにならないうちに覚え直しておきましょう！
ところで、みなさんは相似な図形の性質を覚えていますか？
形が同じ図形を相似と言いいますね。
形が同じ図形ならどんなことが言えるか考えてみれば、相似な図形の性質は自力で導き出すことができるかもしれません。
覚えていない人は、改めて図を描いて、じっくり考えてみると良いでしょう。
形が同じだから・・・
当然「対応する角の大きさはそれぞれ等しい」です。
そして、「対応する辺の比は全て等しい」です。
三角形に限らず、相似な図形は必ずこれらのことが言えます。
△ＡＢＣと△ＰＯＣは相似なので、対応する辺の比が等しいです。
つまり、ＡＢ：ＢＣ：ＣＡ＝ＰＯ：ＯＣ：ＣＰですね。
これらの辺の長さで、わかっているのは今のところＡＢ＝８，ＢＣ＝１６だけです。
ＢＰを求めるためには、ＣＰの長さを知りたいですね。
そのためには、もう少し他の辺の長さも求める必要がありそうです。
例えば、ＡＣの長さがわかれば、ＡＯ，ＯＣがわかり、相似な図形の辺の比から、ＰＣもわかりそうです。
△ＡＢＣは直角三角形なので、三平方の定理が成り立ちます。
三平方の定理は、ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2ですね！
ちなみに、ａ，ｂは直角をはさむ辺、ｃは斜辺であることに注意しておきましょう！
三平方の定理の式にＡＢ＝８，ＢＣ＝１６を代入すると、
ｃ^2＝８^2＋１６^2
ｃ^2＝６４＋２５６
ｃ^2＝３２０
ｃ＝√３２０
ｃ＝８√５
ということで、ＡＣ＝８√５とわかりました。
これでいろいろなことがわかります。ＯはＡＣの中点なので、ＯＣ＝４√５ですね。
さらに、相似な図形の辺の比から、ＡＣ：ＢＣ＝ＰＣ：ＯＣです。
この比の式に、今までわかったことを代入して計算すれば、ＰＣがわかり、ＢＰもわかる。という道筋です。
少し長くなりましたが、何のために何をしたのか理解できましたか？
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解答
(８√３)／３