平方根と代入（平方根）〜中学数学

平方根と代入（平方根）

●問題
「ｘ＝√２＋５，ｙ＝√２−５のとき、ｘ^2＋２ｘｙ＋ｙ^2の値を求めよ。」

一見して難しそうですが、実は簡単な問題です。

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

代入して、計算する。

解法

そのまま代入すればできるのは間違いありません。
とりあえず、代入してみましょう。

　ｘ^2＋２ｘｙ＋ｙ^2
＝(√２＋５)^2＋２(√２＋５)(√２−５)＋(√２−５)^2

・・・んま、できなくもなさそうですが、かなり面倒ですね。
計算に自信のある人はこのままやっても、もちろん構いません。

もっとスマートに解ける方法はありますが、このくらいの計算なら苦もなくできるレベルを目指して計算練習した方が良いですよ〜！
素早く確実に計算をするためには、充分な練習が欠かせません。
「こんなの楽勝だよ！」って、自信を持って言えるくらいまで練習あるのみ！


・・・しかし！
もっともっと楽な方法があります。
楽にできる方法があるなら、もちろん使ってみたいですよね！？

問題を見てすぐに気がついた人もいると思いますが、与えられた式は因数分解することができます。
そんなときは、因数分解してから代入すると計算が楽になる場合があります。

　ｘ^2＋２ｘｙ＋ｙ^2
＝(ｘ＋ｙ)^2

因数分解するとこのようになりました。とても単純な式です。
これにｘとｙの値を代入してみましょう。

＝(√２＋５＋√２−５)^2

値は同じはずですが、最初に書いた式と大違いですね！
これだけ単純な式になったら、あとの計算は簡単です。

＝(√２)^2

解答

ｘ^2＋２ｘｙ＋ｙ^2＝２