円周角の定理〜中学数学

円周角の定理

●問題
「円Ｏの周上にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４点がある。ＡとＣ，ＢとＤを結び、その交点をＰとする。∠ＡＢＤ＝５０°のとき、∠ＰＣＤの大きさを求めよ。」

慣れないと意外と気づきませんが、定理が正しく使えれば、とても簡単な問題ですね！

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

同一の弧に対する円周角を探す。

解法

まず、円周上の点を頂点とする角を「円周角」といいます。
そして、円周角には「同一の弧に対する円周角は等しい」という性質があります。
これを「円周角の定理」といいます。

円周上に点が何個もあるときは、円周上の点を頂点とする角(円周角)が複数できるので、円周角の定理を使える場合が多いです。

また、今回の問題のように、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄと、特に断りなく点を列挙している場合は、この順に一周するように点があることを意味します。
例えば、円周の上側の部分にＡがあるとすると、その隣にＢがあり、さらにその隣にＣがあり、Ｃの次にはＤがあり、Ｄの次にはまたＡに戻る。という並び方になります。
順番が入れ替わって、Ａ→Ｃ→Ｂ→Ｄや、Ａ→Ｄ→Ｂ→Ｃなどにはならないのです。

ここで問題をもう一度確認してみましょう。

「円Ｏの周上にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４点がある。ＡとＣ，ＢとＤを結び、その交点をＰとする。∠ＡＢＤ＝５０°のとき、∠ＰＣＤの大きさを求めよ。」

とあります。
このような図を描いてみてください。

まず、適当に円Ｏを描きます。
そしてその周上にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄを順に一回りするよう描きます。
ＡとＣ，ＢとＤを結び、その交点にＰと書き入れます。
∠ＡＢＤ＝５０°とあるので、線分ＡＢとＢＤの間の角に５０°と書き入れます。
求める角は∠ＰＣＤなので、∠ＰＣＤのところに好きな印を描きます。

まずはここまで描いてみてください。
綺麗に図が描ければ、たぶんほとんど解決しているはずです。
見た目だけで判断しても、∠ＡＢＤ＝∠ＰＣＤですね。

その根拠は・・・「円周角の定理」です。

線分ＰＣは線分ＡＣの一部なので、∠ＰＣＤ＝∠ＡＣＤです。
∠ＡＢＤと∠ＡＣＤは、弧ＡＤに対する円周角です。
つまりこれらは、同一の弧に対する円周角です。
ならば、円周角の定理により、∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤなので、∠ＡＢＤ＝∠ＰＣＤですね！

解答

∠ＰＣＤ＝５０°