円周角の定理

●問題
「円Oの周上にA,B,C,Dの4点がある。AとC,BとDを結び、その交点をPとする。∠ABD=50°のとき、∠PCDの大きさを求めよ。」

慣れないと意外と気づきませんが、定理が正しく使えれば、とても簡単な問題ですね!

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・2分の1 → 1/2、5分の3掛けるx → (3/5)x
次数・・・xの2乗 → x^2、2xの2乗 → 2x^2

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方向性

同一の弧に対する円周角を探す。

解法

まず、円周上の点を頂点とする角を「円周角」といいます。
そして、円周角には「同一の弧に対する円周角は等しい」という性質があります。
これを「円周角の定理」といいます。

円周上に点が何個もあるときは、円周上の点を頂点とする角(円周角)が複数できるので、円周角の定理を使える場合が多いです。

また、今回の問題のように、A,B,C,Dと、特に断りなく点を列挙している場合は、この順に一周するように点があることを意味します。
例えば、円周の上側の部分にAがあるとすると、その隣にBがあり、さらにその隣にCがあり、Cの次にはDがあり、Dの次にはまたAに戻る。という並び方になります。
順番が入れ替わって、A→C→B→Dや、A→D→B→Cなどにはならないのです。

ここで問題をもう一度確認してみましょう。

「円Oの周上にA,B,C,Dの4点がある。AとC,BとDを結び、その交点をPとする。∠ABD=50°のとき、∠PCDの大きさを求めよ。」

とあります。
このような図を描いてみてください。

まず、適当に円Oを描きます。
そしてその周上にA,B,C,Dを順に一回りするよう描きます。
AとC,BとDを結び、その交点にPと書き入れます。
∠ABD=50°とあるので、線分ABとBDの間の角に50°と書き入れます。
求める角は∠PCDなので、∠PCDのところに好きな印を描きます。

まずはここまで描いてみてください。
綺麗に図が描ければ、たぶんほとんど解決しているはずです。
見た目だけで判断しても、∠ABD=∠PCDですね。

その根拠は・・・「円周角の定理」です。

線分PCは線分ACの一部なので、∠PCD=∠ACDです。
∠ABDと∠ACDは、弧ADに対する円周角です。
つまりこれらは、同一の弧に対する円周角です。
ならば、円周角の定理により、∠ABD=∠ACDなので、∠ABD=∠PCDですね!

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解答

∠PCD=50°

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