円周角の定理を用いた相似の証明
●問題
「円Ｏの周上にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４点がある。ＡとＣ，ＢとＤを結び、その交点をＰとする。このとき、△ＡＢＰ相似△ＤＣＰを証明しなさい。」
「証明」と聞いただけでどこかへ逃げてしまう人も多いですが、実はあまり難しくないです。とにかく理由をつけて等しいことを言っていけば良いだけですよ！
■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２
スポンサード リンク
方向性
まずは図を描き、等しそうに見える部分を探す。
解法
「円周角の定理」のページと同じですが、念のため繰り返しておきます。
まず、円周上の点を頂点とする角を「円周角」といいます。
そして、円周角には「同一の弧に対する円周角は等しい」という性質があります。
これを「円周角の定理」といいます。
円周上に点が何個もあるときは、円周上の点を頂点とする角(円周角)が複数できるので、円周角の定理を使える場合が多いです。
また、今回の問題のように、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄと、特に断りなく点を列挙している場合は、この順に一周するように点があることを意味します。
例えば、円周の上側の部分にＡがあるとすると、その隣にＢがあり、さらにその隣にＣがあり、Ｃの次にはＤがあり、Ｄの次にはまたＡに戻る。という並び方になります。
順番が入れ替わって、Ａ→Ｃ→Ｂ→Ｄや、Ａ→Ｄ→Ｂ→Ｃなどにはならないのです。
---------------------------------------------------------------------
ここで今回の問題をもう一度確認してみましょう。
「円Ｏの周上にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４点がある。ＡとＣ，ＢとＤを結び、その交点をＰとする。このとき、△ＡＢＰ相似△ＤＣＰを証明しなさい。」
とあります。
このような図を描いてみてください。
まず、適当に円Ｏを描きます。
そしてその周上にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄを順に一回りするよう描きます。
ＡとＣ，ＢとＤを結び、その交点にＰと書き入れます。
まずはここまで描いてみてください。
今回は三角形の相似を証明したいので、その三角形も目立つようになぞっておいたりすると良いです。
それらしく図を描いてみると、だいたいどれとどれが等しいか見当がつくと思います。
∠ＡＰＢ＝∠ＤＰＣ，∠ＡＢＰ＝∠ＤＣＰなどが言えそうですね！
これらを理由をつけて言っていけば良いのです。
∠ＡＰＢ＝∠ＤＰＣの理由は何でしょうか？
これらは「対頂角」ですね。２直線が交わったときにできる角が「対頂角」で、対頂角は等しいです。
∠ＡＢＰ＝∠ＤＣＰの理由は何でしょうか？
これらはともに、弧ＡＤに対する円周角ですね。辺ＢＰはＢＤの一部で、辺ＣＰはＡＣの一部なので、どちらも弧ＡＤに対する円周角なのです。円周角の定理より、同一の弧に対する円周角は等しいのでしたね。
そして、角が２組等しいならば、「２組の角がそれぞれ等しい」という相似条件を満たします。
これらを順序立てて書いていけば、証明ができあがる。というわけです。
どうですか？できそうでしょ？
スポンサード リンク
解答
△ＡＢＰと△ＤＣＰにおいて、
対頂角は等しいので、∠ＡＰＢ＝∠ＤＰＣ・・・{1}
同一の弧に対する円周角は等しいので、∠ＡＢＰ＝∠ＤＣＰ・・・{2}
{1}，{2}より、２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＰ相似△ＤＣＰ