三平方の定理と立体の体積〜中学数学

三平方の定理と立体の体積

●問題
「１辺が４ｃｍの正方形ＡＢＣＤを底面とし、ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝４√２ｃｍとする正四角錐ＯＡＢＣＤがある。この四角錐ＯＡＢＣＤの体積を求めよ。」

立体図形に関する問題は、使う数字の個数が多いです。しっかり図を描いて、わかることをひとつひとつ求めていくのが大切です。

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

底面積と高さを求める。

解法

立体の体積を求めるには、一般に、底面積と高さが必要です。

四角柱・円柱などの柱体ならば、「体積＝底面積×高さ」
四角錐・円錐などの錐体ならば、「体積＝底面積×高さ×(１／３)」

ですね！

今回の問題は、四角錐なので、「底面積×高さ×(１／３)」で体積を求めることができます。

底面は正方形なので、ＡＢＣＤ＝４×４＝１６ｃｍ^2です。
これはすぐにわかると思います。

あとは高さが必要ですが、ちょっとだけ難しいですね。

今のところ高さを含む平面図形は描かれていないので、自分で高さを含む図形を見つけます。
例えば、△ＯＡＣなどがありますね！
この△ＯＡＣをよく見てみると・・・

△ＯＡＣの高さと四角錐ＯＡＢＣＤの高さは共通のようです！

ということで、△ＯＡＣの高さ、つまり、ＯからＡＣに下ろした垂線の長さがわかればＯＫですね。
この垂線の長さを求めるためには、△ＯＡＣを垂線で二等分した直角三角形を利用すれば良さそうです。

△ＯＡＣは、ＯＡ＝ＯＣ＝４√２なので二等辺三角形です。
二等辺三角形は、頂点から底辺に垂線を下ろすと、底辺を二等分する。という性質があります。

まずはＡＣの長さを求めてみましょう。
三平方の定理より、
ＡＣ^2＝ＡＢ^2＋ＢＣ^2
　　　＝４^2＋４^2
　　　＝１６＋１６
　　　＝３２
ＡＣ＝√３２＝４√２(ｃｍ)

そして、ＯからＡＣに下ろした垂線の足をＨとすると、ＡＨ＝(１／２)ＡＣ＝２√２となります。
さらに、△ＯＡＨについて三平方の定理を用いると、

　　ＯＡ^2＝ＯＨ^2＋ＡＨ^2
(４√２)^2＝ＯＨ^2＋(２√２)^2
　　　３２＝ＯＨ^2＋８
　−ＯＨ^2＝８−３２
　　ＯＨ^2＝２４
　　　ＯＨ＝√２４＝２√６

これで△ＯＡＣの高さ、つまり四角錐の高さがわかりました！
あとは「体積＝底面積×高さ×(１／３)」に代入して計算するだけですね！

解答

(３２／３)√６ｃｍ^3