相似な立体の表面積・体積
●問題
「三角錐ＯＡＢＣの各辺を２倍にした。もとの三角錐と比べて、表面積と体積はそれぞれ何倍になったか。」
長さも形も何も書いていません。だから、面積や体積そのものは求めることができないが・・・？
■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２
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方向性
面積や体積を求めるために必要なものがどう変化したか考える。
解法
まず表面積について考えてみましょう。
表面積は、展開図の面積と考えることができます。
三角錐は底面が三角形で、先がとがった形をしているので、展開図は、底面の三角形の周りに三角形が３つくっついている形になります。
今回の問題では、この４つの三角形の各辺を２倍に伸ばした場合を考えます。
各辺を２倍にすると、それぞれの底辺と高さも２倍になりますね？
仮に底辺だけ２倍になれば、面積は２倍です。
仮に高さだけ２倍になれば、面積は２倍です。
ということは・・・底辺と高さの両方が２倍になれば、面積は２×２＝４倍になるのです。
面積を求めるためには、底辺と高さなど、長さを２回使うので、２倍×２倍＝４倍。と理解しておくとよいです。
次に体積について考えてみましょう。
体積を求めるためには、底面積と高さを使います。
底面積は、底辺と高さなど、長さを２回使います。
その底面積に、高さを掛ける、つまり、長さをさらにもう１回掛けるので、トータルで「長さを３回掛ける」と見ることができます。
長さがそれぞれ２倍ずつになっているのだから、体積は２倍×２倍×２倍＝８倍。となるのですね！
これらをまとめると、「面積比は相似比の２乗」「体積比は相似比の３乗」ということができます。
単に暗記するより、このように理解して覚えた方が良いですよ！
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解答
表面積は４倍、体積は８倍